>>332794
>>332794
А какие темы изучать-то? Если что, я спрашиваю, что нужно, чтобы дальше понимать курсы, а не как поступить. Выборочно надрачивать темы из вступительных экзаменов я не собираюсь. В конце концов, можно поступить не во ВШЭ а в более слабое место либо подождать, пока мой уровень вырастет.

Я пока еще не знаю, чем хочу заниматься, но пацаны говорят, что интересные области сейчас - это алгебраическая топология, алгебраическая геометрия и другие. Ниже напишу, что я изучил (знаю определения, ознакомился с доказательствами результатов, которые использую, решал задачи) и что планирую изучать дальше. Надеюсь, что аноны, которые занимаются интересными разделами математики, меня направят.

1) Непрерывность, компактность и связность (это все в метрическом пространстве). Числовые ряды и их сходимость. Дифференцирование. Интеграл Римана. Всякие несложные интегралы вычислять умею. Дальше планирую изучать многомерный матан, дифференциальные формы. Потом теорию меры.

2) Топологические пространства и непрерывные функции по Munkres: Topology. Связность и компактность пока только в метрическом пространстве изучал, сейчас буду изучать в топологическом. Дальше хз что. Очень часто встречал словосочетание "фундаментальная группа". Вот надо будет разобраться, что это такое.

3) Конечномерные векторные пространства. Пространства со скалярным произведением. Диагонализуемость нормальных операторов на комплексном векторном пространстве и самосопряженных на вещественном. Форма Жордана. Насколько я понял, бесконечномерные векторные пространства изучаются в функциональном анализе. Дальше планирую его изучать, но я хз насколько надо углубляться, потому что, вроде как, это очень обширная тема.

4) Всякие группы/кольца/поля знаю только на уровне определений. В общем, воьсмиклассники в матшколе знают больше меня. Планирую Винберга навернуть.

5) Более-менее ориентируюсь в разделах, связанных с CS, потому что я у мамы погромист. Еще в численных методах немного ориентируюсь.

6) Совсем не знаю дифуры и физику. И не планирую знать в ближайшем будущем.

7) Совсем не знаю ТФКП. Знаю только результаты о комплексных числах уровня 18 века типа формулы Эйлера и формулы Муавра. Хз, что оттуда надо изучать. Планирую прочитать Rudin: Real and Complex Analysis.

>>333277
Я принципиально не стал включать сюда более новые книги. Перечисленные книги адекватны математической программе большинства современных российских вузов.

Математический анализ
1. Фихтенгольц. "Курс дифференциального и интегрального исчисления" в трёх томах.
Это очень старый учебник, написанный ещё до появления топологии как науки и даже до установления современной терминологии теории множеств. Изложение ведётся в стиле девятнадцатого века, с явным акцентом на практические приёмы вычислений. В учебнике используется нестандартная терминология: так, последовательность названа "варианта". Первый том содержит классический анализ вплоть до понятия неявной функции и матрицы Якоби. Фихтенгольц особо не скрывал, что образцом для первого тома послужил курс Коши, написанный ещё в 1821 году. Второй том - неопределённый и определённый интеграл, а также ряды. Есть много сравнительно экзотических вещей: признаки Раабе, Куммера и Ермакова, например. Третий том - криволинейные, двойные, поверхностные и тройные интегралы, а также ряды Фурье. Общей теории интеграла Римана, опирающейся на меру Жордана, книга Фихтенгольца не содержит, несмотря на свою объёмность.

2. Кудрявцев, "Курс математического анализа" в трёх томах. Книга, видимо, задумана как современная версия Фихтенгольца. Книга весьма странная. Например, в ней не определяются выражения вроде "индекс пробегает множество", зато определяются выражения вроде "число элементов множества равно единице" - предполагается, видимо, что второе непонятнее первого. В книге есть упражнения, в которых читателю предлагается доказать утверждения, для доказательства которых материала книги в принципе недостаточно, и такие упражнения никак особо не отмечены. Для учебника это странно.
Первый том содержит элементы теории множеств, элементы комбинаторики (перестановки, сочетания, биномиальный коэффициент), последовательности, пределы, дифференциальное и интегральное исчисления для функций R->R. Второй том содержит ряды, дифференциальное и интегральное исчисление на R^n (мера Жордана определяется явно), а также элементы теории поля (вплоть до потенциальных и соленоидальных полей). Третий том - ряды Фурье и интеграл Фурье, функциональные пространства, обобщённые функции. В приложении к третьему тому изложено определение предела вдоль фильтра. Многообразий в курсе нет.

3. Ильин, Позняк, "Основы математического анализа" в двух томах. По сути, это Кудрявцев для бедных. Изложение, несмотря на свою объёмность, весьма странное. Так, все концептуально важные замечания о непрерывности R вынесены в приложение к первому тому, зато эволюта и эвольвента удостоились места в основном тексте. Второй том, однако же, содержит определение интеграла Лебега и пространства Гильберта.

4. Архипов, Садовничий, Чубариков, "Лекции по математическому анализу". Одна объёмная книжка. Изложение изобилует странными заявлениями вроде "множество есть неопределяемое понятие". Вещественные числа определяются как бесконечные десятичные дроби, что ведёт к ожидаемым проблемам с определением арифметических операций. Многие теоремы, например теорема Вейерштрасса, оставлены без доказательств. Книга состоит из четырёх частей. Интеграл Римана и интеграл Лебега определяются, - ну, вернее, описываются, - явно, без умолчаний, с опорой на соответствующие меры. Изложение стандартное, заканчивается обобщённой формулой Стокса.

5. Демидович, "Сборник задач и упражнений по математическому анализу". Nuff said.

6. Виноградова, Олехник, Садовничий. "Задачи и упражнения по математическому анализу" в двух томах. Задач больше, чем в Демидовиче. Есть задачи весьма унылые, есть и сравнительно интересные.

Алгебра
1. Курош, "Курс высшей алгебры". Несмотря на название, курс в основном посвящён многочленам и тривиальным вычислительным аспектам линейной алгебры, специфических абстрактных объектов в нём нет. Группы определяются лишь в последней, четырнадцатой главе.

2. Курош, "Общая алгебра". Курош сумел создать собственную научную школу, в заметной степени обособленную от остальной математики. Школа Куроша занимается изучением, по сути, самой себя. Фундамент школы образован вещами, которые интересовали лично Куроша. Так как Курош был человек увлекающийся, фундамент получился чрезвычайно эклектичным: универсальные алгебры, лупы Муфанг, мультиоператорные группы и почему-то нормированные кольца. Книжечка меметична тем, что образует ядро школы Куроша, будучи при этом малоизвестной. В ней даны определения основным понятиям, интересовавшим Куроша.

3. Курош, "Лекции по общей алгебре". Не следует путать с книжкой с похожим названием. В лекциях систематически, последовательно излагается более-менее вменяемая общая алгебра, начиная с понятия бинарного отношения, заканчивая основной теоремой теории Галуа. При этом, конечно, Курош пользуется своим стилем и своей терминологией - например, упорно использует омега-группы - но в целом это не критично. Из всех книг Куроша эта, пожалуй, самая ценная.

4. Курош, "Теория групп". Magnum Opus Куроша, его величайшая книга, сборник просто огромного количества теорем и малоизвестных определений. К сожалению, теоремы сведены в этот сборник механически, а не доказаны единым образом в какой-то общей парадигме. У книги есть несколько изданий, сильно различающихся между собой. В книге нашлось место операциям - книга писалась полвека назад, и тогда это ещё были операции - Ext, Hom, Tor и многим другим вещам, всё ещё сохраняющим актуальность.

5. Постников, "Теория Галуа". Дополнение к вышеперечисленным книгам, написанное откровенным фанатом Куроша. Любовь автора к Курошу проявляется с первых же страниц, когда Постников объявляет, что слово Курс - именно так, с большой буквы, - обозначает "Курс высшей алгебры". Книга выдержана в том же стиле, что и творчество Куроша, сходство просто удивительное. Книжка состоит из трёх частей. В первой части определяются штуки вроде композита полей, во второй части доказывается теорема Абеля о неразрешимости в радикалах, в третьей части технические аспекты и приложения - вычисление группы Галуа, построение циркулем и линейкой и прочие луночки Гиппократа.

>>333324
Линейная алгебра
1. Ильин, Позняк. "Линейная алгебра". Архетипичный учебник линейной алгебры. Главы таковы: матрицы, линейные пространства, системы линейных уравнений, евклидовы пространства, линейные операторы, итерационные методы, билинейные и квадратичные формы, тензоры, элементы теории групп. Несмотря на отсутствие явного разделения алгебры на линейную и полилинейную, книга выдержана в довольно чётком стиле.

2. Гельфанд, "Лекции по линейной алгебре". Эта книжка действительно является лекциями. В ней углубленно изучаются некоторые вещи, например, нормальная форма линейного оператора. Основным учебником эта книга служить не может.

3. Воеводин, "Линейная алгебра". Тот же Ильин-Позняк, только труба пониже, дым пожиже. Есть сложение направленных отрезков.

4. Проскуряков, "Сборник задач по линейной алгебре". Nuff said.

Аналитическая геометрия
1. Александров, "Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры". Учебник примечателен тем, что геометрия здесь излагается поначалу независимо от теории множеств. Вводится самостоятельная система понятий (не аксиоматическая), описывающая прямую и отрезок на ней. Вектор сперва вводится как направленный отрезок. В учебнике есть чудесный привет из восемнадцатого века: параграф "Пропорциональность пар чисел". Абстрактные векторные пространства вводятся только в двенадцатой главе.

2. Ильин, Позняк. "Аналитическая геометрия". По сравнению с предыдущей книжкой выглядит современнее, но гораздо бледнее. По сути, эта книга - учебник линейной алгебры, к которому приделали координаты и в котором переобозвали некоторые понятия, а потом использовали для описания кривых и поверхностей второго порядка.

3. Беклемишев, "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры". Кривые и поверхности второго порядка изучаются в третьей главе, последующие главы - кое-какая теория аффинных пространств, последняя глава - тензоры.

4. Ефимов, Розендорн, "Линейная алгебра и многомерная геометрия". Первые десять глав - стандартны, дальше начинается любопытное заигрывание с поливекторами и внешними формами. Последняя глава - проективное пространство.

5. Оболенский, "Лекции по аналитической геометрии". Учебник позиционируется как бы для программистов, однако содержит алгебры Грассмана и симплектическую геометрию. Автор игрив, его язык шутлив.

>>334303
Хотя я знаю несколько высокомерны математиков (не молодых) у которых запросто ничего не спросишь, но это скорее исключение. Касательно распознавания уровня знаний, если идет предметное обсуждение - как иначе, ведь хочется донести до собеседника содержательную информацию, а не что-то для него тривиальное или же недоступно сложное.

Впрочем, эти рассуждения напомнили мне одну известную книгу:

>Дух презрения, проникший в математический мир, постепенно распространялся, чтобы в конце концов охватить его целиком. Но в те годы я еще ничего не замечал, с легким сердцем продолжая называть волшебным именем «математического сообщества» свой, неумолимо преображавшийся, мир. Не то, чтобы он менялся сам по себе: все мы, его обитатели, принимали в этом участие. И мою собственную роль мне бы хотелось определить поточнее - с тем я и начал этот разговор. К чему-то я уже пришел, но до окончательного ответа еще не добрался; грех прерываться на полпути. Да и потом, заглянув из моего теперешнего угла в страну большой математики, что еще, кроме вопросов и ответов, я мог бы предложить людям, которых знал и любил? Когда-то я ушел из их мира и потерял с ними связь. Сегодня я внутренне готов прервать долгое молчание. Это - не возвращение, но всего лишь новая попытка высказать то, что накопилось в душе.

>Думаю, я должен прежде всего разобраться в том, как складывались мои отношения с «сильными» и «слабыми» мира математики - в те времена, когда я сам был одним из его обитателей.

>Сейчас, размышляя об этом, я не устаю удивляться одному странному обстоятельству. Выходит так, что весьма существенной части этого мира я (неизвестно, почему) просто не замечал. Между тем, ее составляли люди, с которыми я сталкивался достаточно регулярно. Вероятно, я воспринимал ее, как некое «болото»: в чем его предназначение, и вообще что там внутри него происходит, мне было неясно. В лучшем случае, я мог бы приписать ему роль пресловутого «резонатора» - для скрипки, на которой играют мастера. В моих глазах это была серая, безликая масса, на всех семинарах и коллоквиумах неизменно заполнявшая задние ряды. Эти люди были словно созданы затем, чтобы сидеть в тени, пуще всего опасаясь случайно привлечь к себе внимание. Они почти никогда ни о чем не спрашивали докладчика - из страха, что вопрос окажется неуместным (более того, создавалось впечатление, будто они заранее были в этом уверены).