Чем занимаются математики.
Бонус: бьющий мимо цели наезд на конструктивизм.
#основания #философия #смысл_жизни

Математика изучает воображаемые сущности. Эти сущности, согласно неокантианству, расположены в созерцательном пространстве, что даёт возможность делать о них априорные синтетические суждения. Эти суждения называются определениями. Применение к определениям аналитических рассуждений позволяет чётче осознать, чем же являются рассматриваемые (в созерцательном пространстве) объекты.

Проще говоря, математик сначала воображает что-то, затем делает несколько утверждений о воображенном объекте, затем из этих утверждений выводит следствия.

Поместить в созерцательное пространство и начать созерцать можно какую угодно идею. Но не всякие идеи обладают тем изящным свойством, что при их созерцании получается много аналитических суждений, сложным образом связанных друг с другом. Лишь те идеи, при воображении которых достоверно получается много нескучных теорем, изучаются математикой и называются математическими объектами.

Похожей деятельностью занимаются вообще все теоретики - все они воображают. Однако у математики есть всё-таки своя специфика. Говорить о ней я не буду, потому что это слишком интимная вещь. Продолжу разговор о созерцательном пространстве.

Обычно воображается не одна-единственная сущность, но целый сонм сущностей. Этот сонм называется универсумом. Сущности, входящие в универсум, однородны в следующем смысле. Каждое определение можно рассматривать как фильтр, сквозь который одни сущности универсума проходят, другие не проходят. Сущности, которые проходят через фильтр, неразличимы этим фильтром. Так вот, для всякого универсума есть определение, относительно которого все объекты универсума неразличимы. Для универсума теории групп таким определением является группа - все сущности универсума подходят под это определение. Для универсума теории колец таким определением является кольцо. Для метаматематики универсумом является сонм текстов. И т.п.

Для каких-то универсумов есть описания, позволяющие составить представление о сущностях, входящих в сонм, для каких-то универсумов таких описаний нет. Например, для универсума стандартной теории множеств есть описание: именно, под универсумом понимается кумулятивная иерархия фон Неймана. Этот универсум обозначается V. Вместе с тем, легко воображаются универсумы множеств, которые могут напоминать, а могут и не напоминать V. Эти универсумы описываются неклассическими теориями множеств.

Существование понимается относительно какого-то универсума. Если объект x существует относительно U, то это означает, что при воображении универсума U необходимо также иметь в виду и объект x. Несуществование x соответственно означает, что при воображении универсума не следует воображать x.

Конструктивизм занимается ровно этим же самым - исследует воображаемые сонмы сущностей. Однако делает это "со связанными руками", фанатично ограничивая себя требованием вычислимости. Вычислимость, о которой говорят конструктивисты, - воображаемая. Ведь все алгоритмы, которые рассматривают конструктивисты, существуют лишь в воображении конструктивистов. Выполнить эти алгоритмы в реальности невозможно - см. аргумент Вавилова о чернильной дыре. Так, в реальном мире невозможно построить два в степени гугол, несмотря на то, что вообразить алгоритм построения такого числа очень легко. Ибо для построения этого числа потребуется больше атомов, чем есть во всей вселенной. Претензии конструктивистов на якобы большую реалистичность по сравнению с математикой не имеют под собой почвы. Конструктивисты занимаются тем же самым воображением объектов, которым занимаются математики, однако почему-то кричат, что вовсе не пользуются никакими воображением.

У конструктивистов считается, что воображение не может быть связано с реальным миром. Конструктивисты заблуждаются. Например, если я возьму монетку и воображу её падение на землю, а потом действительно брошу монетку на землю, - я увижу почти то же самое, что я вообразил.

Для людей, которые стоят на позициях решительного утилитаризма и оценивают всякую деятельность постольку, поскольку она полезна в народном хозяйстве, также есть аргумент в защиту неограниченного воображения. А именно - математические теории можно рассматривать как черный ящик, как умозрительную машину, шестеренки которой приводятся в движение силой воображения; на вход подаются данные, на выходе получается предсказание. Никому не нужно, чтобы все воображаемые шестеренки такого калькулятора чему-либо соответствовали в реальном мире. Достаточно, чтобы он давал корректный результат при всех задачах, в которых ценное для утилитариста народное хозяйство нуждается. Если совершенно фантастические объекты верно предсказывают надои чугуна, то нет никаких причин требовать от этих объектов быть реальными. Математики занимаются созданием и обслуживаением фантастических шестеренок, строят в своём воображении конструкции, которые нужны лишь для других воображаемых конструкций. Каждый из математических объектов сам по себе для народного хозяйства бесполезен, однако из некоторых математических объектов в конце концов можно собрать очередную машину предсказаний. И нормальная математика справляется с этим куда лучше, чем конструктивизм. Достаточно указать на то, что все воображаемые шестеренки, лежащие под капотом классического анализа, в конструктивизме не существуют, - а вместе с этим невычислимый матан обусловил научную революцию и радикально изменил бытие человечества.

Математики, конечно, не видят смысл своей деятельности в создании калькуляторов. Математики в основном занимаются математикой, которая интересна внутри математики - употребляется в других разделах или даёт повод для воображения и изучения каких-то новых интересных сущностей. Полезные для народного хозяйства калькуляторы получаются непредсказуемым образом, лишь как случайный побочный продукт.

Мой оптимизм основан на нескольких наблюдениях. Во-первых, теория категорий — сокровищница чрезвычайно полезных идей программирования. Haskell-программисты черпали из нее уже долгое время, и эти идеи медленно просачиваются в другие языки, но этот процесс идет слишком медленно. Нам нужно его ускорить.

Во-вторых, есть много различных видов математики, и все они предназначены для разных аудиторий. У вас может быть аллергия на математический анализ или алгебру, но это не означает, что вам не понравится теория категорий. Не побоюсь утверждать, что теория категорий — это именно тот вид математики, который особенно хорошо подходит для мышления программистов. Это потому, что теория категорий вместо того, чтобы иметь дело с деталями, оперирует структурой. Она оперирует такими понятиями, которые делают программы компонуемыми.

Композиция в самой основе теории категорий, она — часть самого определения категории. И я утверждаю, что композиция — суть программирования. Мы комбинировали вещи уже очень давно, задолго до того, как какой-то великий инженер придумал подпрограммы. Некоторое время назад принципы структурного программирования произвели революцию в программировании, — они сделали блоки кода комбинируемыми. Потом пришло объектно-ориентированное программирование, суть которого в комбинировании объектов. Функциональное программирование не только о комбинировании функций и алгебраических структур данных, еще оно делает параллелизм компонуемым, что практически невозможно с другими парадигмами.

В-третьих, у меня есть секретное оружие, нож мясника, которым я буду кромсать математику, чтобы сделать ее понятнее для программистов. Когда вы профессиональный математик, вы должны быть очень осторожны, чтобы определить все ваши предположения точно, выписать каждое выражение должным образом, и строить все свои доказательства строго. Это делает математические статьи и книги чрезвычайно трудными для чтения непосвященными. Я по образованию физик, и в физике мы добились удивительных успехов, используя неформальные рассуждения. Математики смеялись над дельта-функцией Дирака, которая была придумана великим физиком, П. А. М. Дираком, чтобы решить некоторые дифференциальные уравнения. Они перестали смеяться, когда придумали совершенно новую отрасль анализа, формализующую идеи Дирака и названую теорией распределений.

>>19669 (OP)
из /un

Классический курс матана-I начинается с определения вещественных чисел по Дедекинду. Продолжается эпсилон-дельта определением предела последовательности, арифметических его свойств, свойств бесконечно-малых последовательностей и через них - свойств сходящихся. Дальше следуют теоремы Вейерштрасса, Коши-Кантора о вложенных отрезках, Больцано-Вейерштрасса о подпоследовательностях и критерий Коши. Потом даётся определение предела функции по Коши и по Гейне, доказывается их эквивалентность. С помощью предела по Гейне все теоремы о последовательностях переносятся на функции. Потом как-то вдруг возникают непрерывные функции и их свойства. Дальше идут друг за другом пафосные именные теоремы: Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора, об обратной. Потом как-то сикось-накось определяются элементарные функции - традиционно проёбывается определение тригонометрических. Дальше всякие эквивалентные бесконечно-малые, типы неопределённостей и прочая туфта. Потом возникает производная. В этом месте препод, надувши щёки, важно возвещает, что производная-де - это тангенс угла наклона касательной. Затем впадает в своё обычное коматозно-горячечное состояние и выписывает таблицу производных. Дальше ещё одна порция именных теорем: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа, Тейлора, Лопиталя. Затем препод выписывает несколько рядов Маклорена, раскрывает несколько неопределённостей, исследует несколько функций, и на этом курс благополучно заканчивается. Впереди интегралы.

Так вот, физикам всё это не нужно. Ни один физик в своей деятельности эпсилон-дельта нотацией пользоваться сроду не будет. А у всех названных выше теорем не запомнит даже названий. Ну и зачем, спрашивается, огород городить?

Я предлагаю преподавать что-нибудь, что хотя бы как-то может пригодиться физикам. Начать можно с определения графа. Затем ввести функции как частный случай графа. Затем, таки да, определить категории и функторы. Не понимаю, почему все так их боятся, ведь определение категории через графы очень простое. Категория - ориентированный мультиграф такой, что
1. В каждой вершине висит петелька
2. Если есть путь из A в B, то есть и стрелка из A в B, соответствующая этому пути
Ещё нужно сказать пару слов о правилах манипулирования путями - по каким правилам пути можно приравнивать друг к другу, по каким правилам можно выкидывать из пути старые стрелки или добавлять новые. Совсем не сложно, правда? Уж всяко не сложнее, чем нудный рассказ о дедекиндовых сечениях.

Ориентированный - значит, каждое ребро является стрелочкой.
Мультиграф - между двумя вершинами может быть много стрелок, даже бесконечно-много. Каждая стрелка имеет своё собственное имя.
Путь - это последовательность стрелок, путь имеет вид A->B->...->Y->Z.

Располагая понятием категории, можно определить основные структуры pointless topology (тоже как граф), то есть очень быстро рассказать обо всём, что связано с непрерывностью. Потом ввести производные и интегралы как особую структуру в категории (и их тоже как граф, всё наглядно и никаких лишних больцано-кошей). Дальше - гладкие многообразия и классические структуры на них. И немедленно лагранжеву механику. Как, например, вот тут: https://arxiv.org/pdf/1612.03100.pdf

Таким образом, всю ключевую математику можно изложить не то что за один семестр, но даже за одну лекцию. В Ландау-Лифшице есть попытка сделать что-то похожее, но у Ландау не получилось, он пользовался слишком архаичными идеями.

Остаток семестра можно занять изучением какой-нибудь полезной теории когомологий (я бы предпочёл структуры Ходжа и когомологии Дольбо, но это не принципиально, можно и просто де Рама). А если останется время, то можно определить категории Фукая и рассказать теоретические основы M-теории. И всё это в первом семестре.

Преимущества такого пути очевидны. Физики не будут забивать себе голову бесполезными вещами, зато получат концептуально правильную интуицию и сразу же поймут, что же такое лагранжиан. Не просто услышат термин, как это часто бывает, но получат строгое и точное понимание, и даже немедленно смогут им пользоваться. Из некоторых недостатков - исчезает возможность шулерски прикидываться, что элементарные функции определены. Но на самом деле это не недостаток, и вот почему:

Давать физикам строгое определение элементарных функций бесполезно. Оно требует очень искусного определения вещественных и комплексных чисел, а физики не изучают даже строгую теорию вещественных чисел. Для неё требуется продвинутая теория множеств, а у физиков нет времени на теорию множеств. Как правило, физик, проучившийся своему "матану" целых два года, даже не сможет внятно рассказать, почему 0.(9) = 1, и начинает лепетать что-то невнятное про какие-то там бесконечно-малые. Не говоря уже о более хитрых вопросах - например, почему класс интегрируемых по Риману функций шире класса непрерывных функций, т.е. из-за каких особенностей определения интеграла Римана такое произошло, т.е. какова же причина справедливости критерия Лебега. А ведь по бумагам физик должен знать такие вещи. Бумаги, таким образом, лгут.

Поэтому считать производные, брать интегралы, манипулировать рядами, жонглировать множителями Лагранжа - в общем, всем рутинным вычислениям нужно учить без глубокой теории, чисто механически. Так же, как делению в столбик и вычислению определителей методом Гаусса. И делать это нужно на семинарах, а не на лекциях. Тупо выдать таблицу производных и научить ею пользоваться; де-факто так и происходит.

В общем, я считаю, что тратить время на бессмысленное повторение никому не нужных вещей попросту нелепо. Но пока в университетах преподают старые маразматики пенсионного возраста, из года в год талдычащие одну и ту же архаику, хороших вещей у нас не будет.

программа наивной теории множеств должна быть устроена так:

Элементарная логика
высказывание
таблицы истинности для и, или, не, импликации
предикаты

Множество
элемент, включение, подмножество, равенство, пустое множество
схема выделения
булеан (множество всех подмножеств)
конечные объединение, пересечение, разность
диаграммы Эйлера
неупорядоченная и упорядоченная пара (по Куратовскому)
упорядоченная n-ка, конечные произведения
графическое истолкование предикатов

Отношения
бинарные и n-арные
эквивалентности, фактормножества

Отображение
график отображения
образ, прообраз, слои, обратное отображение, связь с факторизацией
сюръекция, инъекция, биекция (критерий), "равномощность"
семейства множеств
бесконечные объединения, пересечения
функция выбора, бесконечные произведения
принцип де Моргана
характеристические (индикаторные) функции
их связь с теоретико-множественными операциями
y^x как множество всех отображений из x в y
2^x как булеан x

Счетное множество
произведение двух счетных множеств счетно
объединение счетного семейства счетных множеств счетно
N, 2N, Z, Q, QxQ и Q^n счетны
семейство попарно не пересекающихся интервалов не более чем счётно;
семейство попарно не пересекающихся окружностей на плоскости, касающихся оси абсцисс, не более чем счетно
семейство попарно не пересекающихся шаров в R^n не более чем счетно
множество алгебаических чисел счётно
множество точек разрыва монотонной функции счётно
отрезок несчетен
2^N несчётно

Фракталы
канторово множество, двоично-рациональные числа, троичная система
бесконечные деревья
треугольник и ковер Серпинского, губка Менгера
картинка для кривой Пеано

Континуум
интервал, отрезок, 2^N и R равномощны
Мощность c имеют:
график функции sin
квадрат, круг, окружность на плоскости
сфера, шар, куб в R^n
множество R^n
булеан счетного множества
множество Кантора
объединение континуального семейства счетных множеств

Теорема Кантора
о биекции множества и его булеана
Парадокс Кантора
Теорема Кантора-Бернштейна-Шрёдера

Порядок
частичный, линейный, полный, точные грани
диаграммы Хассе
аксиома выбора, лемма Цорна, теорема Цермело, принцип Хаусдорфа

Порядковые типы
канторовские порядковые типы
арифметика порядковых типов
омега и обратный омега (w и w^op),
w+1, w+w, 2^w, w^w, w^w^w^... (эпсилон-нуль)
эта (рациональные числа)
лямбда (вещественные числа)
критерий вуп (вполне упор. множества) - не содержит подмножества типа w^op.
порядковый морфизм, изоморфизм
если f порядковый эндоморфизм полного порядка, то x <= f(x)
начальный отрезок, отсутствие биекции вуп на свой начальный отрезок
два начальных отрезка не изоморфны
между вуп может быть не более одного изоморфизма

Ординалы
натуральные числа по фон Нейману-Цермело
порядок на ординалах
любое множество ординалов вполне упорядочено
парадокс Бурали-Форти
теорема Хартогса, пределы
арифметика ординалов, нормальная форма Кантора
трансфинитная индукция и рекурсия, примеры
кумулятивная иерархия V Цермело - фон Неймана
конфинальность, омега-первое, мощности алеф-0 и алеф-1
отсутствие промежуточных между алеф-0 и алеф-1
алеф-1 не больше континуума, континуум-гипотеза

Кардиналы
аксиома подстановки (аксиома Френкеля)
числовые классы, омега-n для любого ординала n
числа алеф, числа бет и числа гимель для любого ординала
тип эпсилон-n для любого ординала n
арифметика кардиналов
цепные дроби, факториалы, корни и логарифмы кардиналов
теорема Кёнига, следствия о мощностях 2^алеф0, алеф0^алеф0, c^алеф0 и т.п.
регулярные и сингулярные кардиналы, недостижимые кардиналы (определение)

>>75735
Это лишь часть пасты из /un. Вот вся:

Отвечу в свойственном ОПу скушном телеграфном стиле: в вузах должны преподавать вузовские преподаватели. Потому что снег идет зимой и не идет летом, Волга впадает в Каспийское море, а лошади кушают овес. Чрезвычайно содержательное суждение, не так ли?

На самом деле, действующих ученых пора бы уже оставить в покое, а не вешать на них неподъемную педагогическую нагрузку. Хотят преподавать - пусть преподают. Но они в большинстве своем не хотят - просто не хотят, а не потому что им кто-то там на кафедре что-то запрещает. А заманивать этих нехочух рублем денег не напасешься.
Кроме того, при разработке учебной программы следует как минимум различать завершенную и актуальную математику, а также математические факты и математические навыки (те самые habits of mind, относительно которых столь много было сказано и до сих пор ничего не сделано). Массив фактов завершенной математики может превосходно изложить даже средней руки аспирант. Для постановки навыков нужно совместное участие как профессиональных математических педагогов, так и действующих ученых, передающих личный опыт в рамках мастер-классов. Актуальной математике место только на старших курсах - и вот ее-то как раз должны преподавать те самые действующие или недавно ушедшие в отставку ученые, прошедшие дополнительные курсы педагогической подготовки.

Все вышеизложенные факты тривиальны и обмусолены со всех сторон еще в 50е-60е годы двадцатого века. Правда, выводы их них были сделаны различные. В СССР сделали ставку на олимпиадную математику (пиздец) и спецшколы с системой Константинова (пиздец, помноженный на восемь, хотя все равно в разы лучше системы физтеха и прочих форм ада). В РФ ситуация дополнительно осложнена тем, что созданную в Союзе систему отбора и подготовки талантливой молодежи прибрали к рукам банки и айти-корпорации, которые выкачивают для личных галерных нужд все потенциально способные делать науку мозги. Сделать с этим пиздецом давно ничего нельзя, его масштаб слишком велик. Даже матфак, при всех его достоинствах, это всего лишь утлая лодчонка с дырявым парусом, терпящая бедствие в море, полном умных, жадных и злых акул. И пока опчик издалека грозит им кулачком и топает ножками, они спокойно и без суеты доедают его менее расторопных ровесников.

Смешно и грустно. Опчик, будучи частью системы, даже не осознает, что озвученный им (на самом деле не им, но это не суть важно) идеал является неотъемлемой частью того самого пиздеца, с которым якобы призван бороться. Пиздец всеобъемлющ и не ограничен одним только получением корок. Пиздец - это тифарет, мехмат, цитаты арнольда, ежедневный случайный еврей, серия пять колец, листочки, нму, садовничий, математик в 57 школе, библиотечка квант, список вербицкого, dxdy, трэш-ролики, каледин, льготы БВИ, не совсем наивный вавилов, ленинградские математические кружки, борьба русофобов с антисемитами, обязательный прасолов и принудительный шень, летняя школа в дубне, собеседование в шад и прочее, и прочее, и прочее - тошное, душное, мрачное и ветхое, как Талмуд или стенографический отчет XXVII съезда Коммунистической Партии Советского Союза. Завещанные правнукам бесконечно устаревшие войны прадедов. Все это должно было исчезнуть давным давно - но в России в очередной раз наступили застойные времена, а застойным временам присущи застойные явления. И эпоха опять занемела, как отсиженная нога.

Листочки это самый эффективный педагогический инструмент, когда-либо созданный человеческим умом.

Арнольд учил своих асов-аспов по листкам (конкретное тому подтверждение - Тривиум).

Перельман учился по листкам Рукшина.

Основатель сибирской школы алгебры и логики – Мальцев – учился по листкам.

Шафаревич учился по листкам. В итоге поступил сразу же на последний курс МГУ.

Вся знаменитая группа математиков золотого века Мехмата училась по листкам (см. семинары Лузина).

Сам Лузин учился по листкам (у студента-репетитора).

Софья Ковалевская училась по листкам Вейерштрасса. Впоследствии она активно решала проблемы, поставленные Лондонским матобществом (то тоже были листки).

Чебышёв учился оперировать с многочленами по листкам.

Эндрю Уайлс учился по листкам. В его листке была только одна задача – теорема Ферма (по его словам, он впервые познакомился с теоремой в библиотеке, а затем выписал утверждение к себе в листок).

Гротендик, Лебег, Пикар, Адамар, Вейль – все они учились по листкам.

Все бурбаки коллективно решали листки.

Младшие Бернулли учились по листкам старшего Бернулли. Самый старший Бернулли купил первые математические листки у голландского торговца.

Физики тоже: все ученики Ландау учились по листкам Ландау (см. теорминимум Ландау).

Фейнман учился по листкам в калтехе.

Дирак, Гейзенберг, Борн, Шредингер – все они решали много листков в своих университетах.

У Фарадея был листок, на котором было написано: «объединить электричество с магнетизмом». Он решал много листков из частных и публичных библиотек (он был библиотекарем).

Галилей, Ньютон, Лейбниц – все они учились по листкам, составленными физиками и различного рода арабами, жившими до них.

Аристотель учил Александра Македонского по листкам ВШЭ (!). Из-за этого полководец стал слишком много внимания уделять математике, пренебрегая такими полезными предметами, как география, биология, философия (это было подмечено Арнольдом).

Да и вообще, последними словами Архимеда были: «Не трогай моих листков», что было искаженно переведено современными лингвистами, как «Не трогай моих чертежей».

Евклид учился по листкам, составленным египетскими жрецами.

А вот откуда египетские жрецы нашли первые листки – этого никто не знает. Эту величайшую тайну безуспешно пытаются открыть египтологи. Хотя, после открытий Шампольона, возникло предположение, что египтяне переняли систему листков у древних шумеров.

А вот в мехмате МГУ, как я слышал, по листкам не учат…

Расширение модулей переломлено пополам
А наш батюшка Арнольд совсем усох
Он разложился на прямые слагаемые и на пересечение неприводимых подмодулей
А надстройка все идет и идет по конусу
И всё многообразие вложилось в RN
И весь мир состоит из модулей!
Модули над кольцом!
А моя судьба захотела на покой
Я обещал ей не участвовать в гомотопическом хаосе
Но на фуражке на моей коммутативная диаграмма и копредел
Как это трогательно коммутативная диаграмма и копредел
Лихая петля порождает фундаментальную группу
И весь мир состоит из модулей!
Модули над кольцом!
А моей статьёй накормили толпу
Анонимный рецензент нашёл в ней ошибку
Научное сообщество растоптало её на конференции
Так исправляйте же её сами
Потому что весь мир состоит из модулей!
Модули над кольцом!
Один лишь дедушка Шурик хороший был вождь
А все другие остальные такое дерьмо
А все другие враги и такие дураки
Над родною над математикой снег невежества шел
Я купил журнал LJ.ROSSIA там тоже хорошо
Там товарищ Миша там тоже что у нас
Я уверен, что у них то же самое
Весь мир состоит из модулей!
Модули над кольцом!
А при унивалентных основаниях все будет заебись
Их закончат скоро надо только подождать
Там все будет автоматически, там все будет в кайф
Там наверное вообще не надо будет ничего доказывать!
Я проснулся среди ночи и понял, что...
ПУЧОК МОДУЛЕЙ НАД ПУЧКОМ КОЛЕЦ
ПУЧОК МОДУЛЕЙ НАД ПУЧКОМ КОЛЕЦ
ПУЧОК МОДУЛЕЙ НАД ПУЧКОМ КОЛЕЦ

Как матрицы - таблицы чисел, так и тензоры - составной объект, образованный из примитивных.

У чисел есть правило раскрытия скобок, (a+b)c = ac+bc.

В векторных пространствах векторы можно только складывать и умножать на число, а перемножать нельзя. Тензорное произведение ⊗ двух пространств - это способ ввести умножение векторов так, чтобы действовало правило раскрытия скобок.

Берёшь базис e1, e2, e3 первого пространства. Берёшь базис w1, w2, w3 второго пространства. Образуешь девять пар объектов, девять формальных символов, девять букв:

(e1, w1), (e1, w2), (e1, w3)
(e2, w1), (e2, w2), (e2, w3)
(e3, w1), (e3, w2), (e3, w3)

Потом переписываешь их с помощью значка ⊗:
e1⊗w1, e1⊗w2, e1⊗w3,
e2⊗w1, e2⊗w2, e2⊗w3,
e3⊗w1, e3⊗w2, e3⊗w3.

Говоришь, что сложение этих пар будет линейно.
(e1+e2)⊗w1 = e1⊗w1 + e2⊗w1
(e1+e3)⊗w1 = e1⊗w1 + e2⊗w3
и т.д.

А потом на эти девять символов натягиваешь векторное пространство. Получится девятимерное пространство с дополнительной операцией ⊗.
Поскольку ты определяешь это сложение самостоятельно и как хочешь, ты действительно можешь это сделать.

Любой вектор v из первого пространства раскладывается по базису первого пространства.
v = ae1 + be2 + ce3.
Любой вектор u из второго пространства раскладывается по базису второго пространства.
u = xw1 + yw2 + zw3.

v можно умножить на u тензорно. Получится
v⊗u = (ae1 + be2 + ce3)⊗(xw1 + yw2 + zw3) =
= ae1 ⊗(xw1 + yw2 + zw3) + be2 ⊗(xw1 + yw2 + zw3) + ce3 ⊗(xw1 + yw2 + zw3) =
= ae1⊗xw1 + ae1⊗yw2 + ae1⊗zw3 + be2⊗xw1 + be2⊗yw2 + be2⊗zw3 + ce3⊗xw1 + ce3⊗yw2 + ce3⊗zw3

Координаты этого девятимерного вектора в построенном пространстве будут
ax bx cx
ay by cy
az bz cz

Если поменять базисы в исходных пространствах, то поменяются девять символов, поэтому поменяются и координаты v⊗u. Но они поменяются понятным образом - с помощью домножения на матрицы перехода.

Зачем это надо? Ну, в приложениях часто используется замена формального значка ⊗ на какую-нибудь осмысленную операцию, которую можно применить к паре. Например, очень часто умножается векторное пространство на пространство линейных функций на этом пространстве. Пары будут иметь вид v⊗f, где v - вектор, f - функция. Тогда операция ⊗ после всех манипуляций заменяется на применение функции к вектору, v⊗f = f(v). Возможны и другие способы заменить ⊗. Тензорное произведение - манипуляции парами символов - упрощает промежуточные выкладки.

https://www.nsu.ru/n/mathematics-mechanics-department/documents/courses/
Вот, например, там выложена программа по так называемой "высшей алгебре". Я коснусь только двух моментов из неё.

Во-первых, весь рассказ о кольцах ограничивается двумя словами о евклидовых кольцах. Не о факториальных даже, не о кольцах главных идеалов, а именно о евклидовых. Вся содержательная теория укладывается в два-три определения: нод, неразложимый и простой элементы, фактор по идеалу. На изучение этой штуки в любом учебнике (Зуланке, ван дер Варден) отводится несколько страничек и пять теорем, включая следствия, то есть рассказать можно буквально за несколько минут. Вместе с тем в программе это собираются рассказывать 12 часов.

Ещё восемь часов собираются потратить на симметрические многочлены. Даже у Куроша, написавшего кондовую "Высшую алгебру", на эту тему тратится лишь пара параграфов - не потому что это не важно, а потому что это очень просто. Программа хочет жевать это восемь часов.

На этом вся теория колец заканчивается полностью. Я даже не буду спрашивать, где модули, где нётеровость/артиновость; уже и так понятно, что учебы тут нет. Я просто спрошу: китайская теорема об остатках где?

Во-вторых, сразу после колец шестнадцать часов предлагается выделить на рассказ о ЖНФ. В принципе, тема большая, и такой объём действительно можно заполнить чем-то содержательным, материала хватит. Вот только нет в программе ни нормальной формы Смита, ни абелевых групп и целочисленных решёток, ни связи с рекуррентными уравнениями, ни вообще содержательной теории нормальных форм, ни даже банальной связи с золотым сечением и числами Фибоначчи - есть только "понятие о фробениусовой форме". Таким образом, студенты не узнают, зачем, собственно, нужна эта ЖНФ, и будут считать её только ещё одной забавной разновидностью жонглирования матрицами.

Это был двухсеместровый курс алгебры. Другой алгебры не будет. Таким образом, отучившись на мехмате год, студенты не узнают о:
- бинарных отношениях, алгебраических структурах, фактору по эквивалентности;
- решётках, порядках (частичных, линейных и полных), цепях, индуктивности, о лемме Цорна и других вариантах аксиомы выбора;
- полугруппах и моноидах, кольцах вообще, телах и полях, о классических погружениях моноида в кольцо и кольца в тело;
- нормальных группах, рядах подгрупп, теореме Жордана-Гёльдера, производных рядах и разрешимости;
- действии групп, p-группах и теоремах Силова, о теореме Бёрнсайда и формуле классов, о решении всевозможных задач типа про ожерелья;
- элементарных результатах о конечных группах, о симметрических группах вообще, о знакопеременной группе, о классах сопряженности, о диаграммах Юнга и многочленах Шура, о PGL2 на F5, о внешнем автоморфизме S6;
- кольцах главных идеалов и кольцах Безу; об их связи с евклидовыми кольцами; о факториальных кольцах, о простых и неразложимых элементах, о нод вообще;
- в принципе о делителях нуля, нильпотентах, единицах, простых и максимальных идеалах, об операциях над идеалами, о радикалах и даже о радикале Джекобсона, о факторкольцах и китайской теореме об остатках;
- модулях над полями, телами и кольцами, о свободных модулях, нётеровых и артиновых модулях, о структурной теореме о конечнопорожденных модулях над кольцами главных идеалов и следствиях из неё;
- о тензорных произведениях и типичных операциях с тензорами, инварианте Дэна;
- об алгебрах, внешней алгебре и алгебре Грассмана, о смысле определелителей, об алгебрах многочленов;
- категориях, функторах, естественных преобразованиях, категориях запятой, универсальных свойствах, свободных объектах и представимых функторах, о пределах и копределах, суммах и произведениях, уравнителях и пулбэках;
- ядрах и коядрах, индуктивных и проективных пределах, непрерывных и пропредставимых функторах, решётках подобъектов;
- аддитивных, предабелевых и абелевых категориях, точных функторах, инъективных и проективных объектах, о локализациях;
- теореме Крулля-Ремака-Шмидта о существовании и единственности разложений на неразложимые объекты инъективных объектов в абелевых категориях;
- теореме Крулля-Ремака-Шмидта-Атьи для категорий со стационарными двойными цепями;
- строении инъективных объектов в локально нётеровых категориях и универсальном выводе всех основных структурных теорем (Ласкера-Нётер и о конечнопорожденных над кги, терциарное разложение Лезье-Круазо и т.д.)
- симплициальных комплексах, резольвентах, производных функторах, функторах (ко)гомологии, Ext и Tor;
- представлениях групп и колчанов и их разложениях, характерах, связи с категориями, о лемме Шура и теореме Машке, функторах Кокстера, теореме Габриэля;
- билинейных формах на свободном модуле, теореме Витта и т.д.

Вот вещи, которые просто Must Have для алгебры - то, что я вспомнила навскидку, полей и теории Галуа специально не касалась. Эти вещи можно изучить за два месяца (если с упражнениями). Человек, год отучившийся на мехмате НГУ, не будет знать из этих вещей ни единого термина.

Теория Манина состоит из трех частей.
Во-первых, он определяет математику как раздел филологии или лингвистики: это наука о формальных преобразованиях одних наборов символов некоторого конечного алфавита в другие при помощи конечного числа специальных "грамматических правил". Отличие математики от живых языков состоит, по Манину, лишь в том, что в ней больше грамматических правил. Например, имеется правило, позволяющее заменять символы "1+2" на "3".
Второй тезис Манина основан на том, что любому человеку с непредвзятым мышлением ясно: подобным переливанием из пустого в порожнее нельзя открыть ничего нового. Если все же в конце и получается что-то интересное, то это означает просто, что оно содержалось уже в исходных данных. Поэтому общество, правительства и т. п. не хотят оплачивать все это бессмысленное переливание из пустого в порожнее. Но математики хотят получать стипендии, гранты и тому подобное. Для этой цели они изобрели университеты и факультеты, где студентов обучают претендовать на открытия (которые им недоступны в силу самого характера их деятельности, как объяснено выше). В этом, по Манину, состоит сущность математического образования: это просто обучение претенциозности.
Третий тезис был добавлен к двум первым после того, как я (во время Международного математического конгресса 1998 г. в Берлине) оспорил первые два. "Некоторые, - пишет Манин, не называя меня, - возражают, утверждая, будто математика полезна в физике, технике и вообще для прогресса человеческой цивилизации. Но они заблуждаются. Чем математика действительно полезна, так это своим огромным вкладом в решение основной проблемы современного постиндустриального человечества. Проблема же эта состоит вовсе не в том, чтобы, как думают некоторые, ускорять прогресс человечества, а напротив, в том, чтобы этот прогресс всемерно тормозить. Математика отвлекает умных людей от действительно опасных для человечества занятий. Если бы вместо проблемы Ферма умники усовершенствовали бы автомобили или самолеты, вреда человечеству было бы больше".

Это так. Но есть один нюанс: проблема интеллектуального неравенства людей перпендикулярна проблеме образования. Священным Граалем педагогического мастерства является разработка учебной методики, способной за конечное время вывести любого ученика на пик интеллектуальной продуктивности вне зависимости от уровня его исходных знаний и наличия тех или иных способностей. Учитель обязан исследовать профиль интеллектуальных способностей ученика, оценить сильные и слабые стороны его мышления, выявить все характерные для этого профиля пики и провалы - после чего предоставить своему подопечному набор внутренних или внешних когнитивных инструментов, с помощью которых тот сможет максимально полным образом раскрыть свои изначальные способности и компенсировать свои недостатки. В этом заключается суть профессии педагога.

Физматовский конвейер основан на совершенно иных принципах. Он еще на входе фильтрует людей по IQ, после чего несколько лет фильтрует и ломает их об колено с помощью высосанных из пальца методик преподавания (вроде общепринятой в совке системы Константинова, украденной самим Константиновым с запада) - эффективность которой никогда и никем не была доказана, и которая худо-бедно работает только за счет того, что на конвейер изначально попадает человеческий материал очень высокого качества. Этот материал мог бы достичь тех же самых результатов за счет любого другого метода, либо без всяких методов вообще, чему даже внутри советской конвейерной системы образования найдется множество примеров.

Конвейер не является методикой преподавания. Ты не можешь подать на вход произвольного пятиклассника и получить на выходе достойного бакалавра математики или специалиста хоть в чем бы то ни было. В рамках этой системы нет педагогов. Эта система вообще не умеет учить, в ней нет и никогда не было такого функционала. Она способна только фильтровать, фильтровать, фильтровать... - вываливая в отвалы массы бесполезных магистров, бездарных аспирантов и бесталанных докторов наук, всю жизнь вкалывающих на оборонку и госзаказ или пополняющих бездонные штаты IT-компаний.

И это участь тех, кто все-таки сумел попасть на конвейер. Потому что те, кто не сумел, навсегда исчезают в обычных школах, где их топят, как щенков, в болоте бессмыслицы, в религиозных и секулярных ценностях, в любви к бесконечным деньгам или очередному бессменному вождю, в обыденной жизни, сменке, столовке, физре.

Видишь ли - и безумная популярность очевидных фриков вроде Савватеева, и повсеместное введение цифровизации, и попытки отмены Грефом спецшкол, и восторги школоты по поводу Трушина, и полное поглощение отдельных факультетов IT-корпорациями и даже тот факт, что дети элиты поголовно учатся в частных учебных заведениях на западе - все это части одной системы, элементы грандиозного мега-мемплекса, который полностью накрывает собой медийное пространство вокруг российского образования. Это всего лишь оболочка, мембрана, радужный пузырь, который пытается прикрыть собой пустоту. Шелуха вокруг дырки. Потому что никакого российского образования нет. Ну просто нет.

Как самостоятельно с нуля подготовиться к аспирантуре/докторантуре

Level null:
"Algebra" by I.Gelfand and A.Shen
↓
"How to Prove It: A Structured Approach" D.Velleman

Level one:
"Analysis I" by T.Tao
↓
"Linear Algebra" by K.Hoffman and R.Kunze
↓
"Topics in Algebra" by I.Herstein
↓
"Topology" by J.Munkres

Level two:
"Analysis II" by T.Tao
↓
"Introduction to Measure Theory" by T.Tao
↓
"Complex Analysis" by L.Ahlfors
↓
"Introduction to Smooth Manifolds" by J.Lee

Level three - algebra specialization (MIT OCW courses):
18.700 → 18.701 → 18.702 → 18,704 → 18,715 → 18,721 → 18,782 → 18,705 → 18,706 → 18,725 → 18.726 → 18,745 → 18,755 → 18,783

Level three - analysis and geometry specialization (MIT OCW courses):
18.100 → 18.700 → 18.701 → 18,101 → 18,102 → 18,103 → 18,104 → 18,112 → 18,152 → 18,950 → 18,994 → 18,125 → 18,155 → 18,156 → 18,952 → 18,965 → 18,966

Level three - number theory specialization (MIT OCW courses):
18.700 → 18.701 → 18.702 → 18.781 → 18,704 → 18,721 → 18,782 → 18,784 → 18,705 → 18,725 → 18,783 → 18,785

Level three - probality theory and statistics specialization (MIT OCW courses):
18.065 → 18.100 → 18.600 → 18.700 → 18.701 → 18,102 → 18,103 → 18,112 → 18,200 → 18,211 → 18,615 → 18,642 → 18,650 → 18,125 → 18,675 → 18,676 → 18,677 → 18,338 → 18,416 → 18,424 → 18,655 → 18,657

Level three - topology and geometry specialization (MIT OCW courses):
18.090 → 18.100 → 18.112 → 18.701 → 18.702 → 18.900 → 18.950 → 18,101 → 18,102 → 18,901 → 18,904 → 18,952 → 18,994 → 18,116 → 18,155 → 18,721 → 18,755 → 18,782 → 18,905 → 18,906 → 18,965 → 18,966

В работе «Ontological revision and quantum mechanics» (2022), говорится о том, что или вы берёте какие-то феномены и начинаете искать математику для выражения этих феноменов, или наоборот — если есть удобная математика, то нужно попросту переопределить онтологию физических объектов, используя эту математику. Скажем, не «частицы» или «волны», а какие-то другие описания материи. В этой работе говорится, что понятие «состояние» понимается как склонность объекта вызывать события у наблюдателей. Дальше работа предлагает онтологически объединить пространства положения и импульса в единое целое, связанное через преобразование Фурье — это же привычно для физики, точно так же ввели пространство-время, и такой ход Эйнштейна не вызвал какого-то особого отторжения у физиков. На основе этой пересмотренной онтологии квантовая механика выводится естественным путем, не опираясь на какие-либо искусственные предположения, такие как «квантовое условие» (по поводу которых до сих пор идут онтологические споры), или математические аппараты, такие как гильбертово пространство305 и самосопряженные операторы. Как следствие, такие острые вопросы, как «проблема измерения», либо разрешаются, либо просто исчезают.
Cамая интересная часть работы «Ontological revision and quantum mechanics» — это попытки рассуждать про онтологию и теорию познания (рациональность и исследования, то есть эпистемологию) в физике, и как находить в одних и тех же математических (если с размерностью — то физических) формулах самое разное понимание. Нет впечатления, что эта работа будет каким-то мейнстримом: на любую новую фундаментальную идею в математике и физике нужно много-много «вязания на спицах»: показывать феномен за феноменом, что каждый из этих феноменов переописывается проще, чем с использованием текущей физики (набор объектов физического мира с их свойствами) и математики (какие математические объекты были выбраны для моделирования физических объектов), или выглядят точнее в новой математике и физике. Без этого никакого широкого распространения теория не получит, но ресурсов на такую обширную работу ни у кого нет.
Тот же David Deutsch не слишком продвигается с constructor theory, ибо недостаточное число людей готовы овладеть новым набором базовых понятий, у Ванчурина и его команды амбиции по нейронной теории вселенной большие — но он и сам признаёт, что вот эта часть проверок и демонстрации того, что описание мира становится проще и объясняет мир точнее, ещё впереди, и непонятно, кто даст на это ресурсы. При таком подходе можно брать за основу описания мира самые разные ментальные объекты. Например, если смотреть на работы Hwe Ik Zhang (автора статьи про ontological revision и quantum mechanics), то можно найти там и работы по математике и физике, стоящими за классическим восточным подходом Инь-Ян И-Цзин, это очень популярная тема на Востоке: если можно класть какую-то онтологию в основании бытия и подтверждать её потом математикой-физикой, типа тех же «струн» или «нейронов», то что б не взять сразу привычный И-Цзин и понятия противоположностей Инь-Ян?! По этой линии предлагается современная переформулировка И-Цзин для биологии. Все эти попытки упираются в то, что какая-то такая «догадка об интересных (то есть с самым разным нетривиальным поведением) ментальных объектах и математике, стоящей за ними (то есть строго описанное, хорошо понятное поведение)» должна привести к смене онтологии/ontology revision — и надо вот просто взять, и всё остальное переписать с опорой на эту догадку, каждый раз показывая, что при переписке не теряется связь с экспериментом, что точность предсказаний мира не ухудшается. Но ресурсов на такое ни у кого нет. Почему у Ньютона и Лейбница получилось, почему у Шрёдингера получилось, почему у Эйнштейна получилось — не очень понятно, это очень интересный вопрос Даже если убрать связь математики и физики, в самой математике тоже радикальные идеи часто не имеют шансов. Например, классический случай Синити Мочизуки, который попытался радикально преодолеть один из барьеров сложности в математике, но не преуспел — слишком мало математиков поняли его идеи. Профессиональному математику понять какую-то новую теорию в математике — это затратить на 1500-2500 страниц 250-500 часов труда, по 5-6 страниц абсолютно нового сложного (с незнакомыми формулами и идеями!) материала в час. Для физиков это будет примерно то же самое, но всё может оказаться сложнее, ибо в физике ещё есть место эксперименту, и с экспериментами тоже надо разобраться, просто «прочесть» не получится. Это означает, что кто-то из авторов теории пишет начальных 1500-2500 страниц изложения картины мира на базе каких-то новых радикальных понятий, а дальше любому новому человеку надо потратить 250-500 часов труда, чтобы продолжить развивать теорию, переписывать на этот новый язык все новые и новые описания, которые и так уже описаны старой теорией. Барьер оказывается ресурсный! Более того, в ходе такого переписывания не факт, что всё окажется лучше: возможно, будут найдены какие-то непреодолимые затруднения, и всё окажется зря, победит в конечном итоге другая идея. А ещё для первых последователей не будет кому проверить их выкладки (в том числе проверить выкладки самого первого автора). Поэтому есть огромные надежды на применение искусственного интеллекта, который сможет работать с такими радикальными идеями: вопервых, порождать такие идеи (типа объединения пространства и времени в пространство-время или объединить положение и импульс в один объект, или представить весь мир как нейроны или струны), а затем пробовать «переписать всю физику, уж сколько можно» на этот новый математический аппарат, подразумевающий выражение новых физических объектов. Но даже для искусственных интеллектов это может быть крайне трудно по ресурсам: представьте себе, что речь идёт о перетолковывании миллионов научных статей!
Но такие радикальные ходы в науке могут быть очень продуктивны, поэтому есть вероятность, что люди будут вкладываться, если демонстрировать универсальность предлагаемого подхода. Так, Ванчурин и его соавторы демонстрируют стандартный ход «аналогии теорий, определяемых на базе структуры математических формул» на смешивании рассуждений для математически выраженных фреймворков термодинамики, теории эволюции и теории нейронных сетей в работе «Thermodynamics of evolution and the origin of life». Это общий ход в рассуждениях такого сорта: «если математика одна и та же, то это проявление общего физического принципа, паттерн поведения вселенной». Так, free energy в информационной теории Шеннона сначала имела смысл не «физической энергии», а совсем другой смысл, просто «в формулах на этом месте в физике стоит обычно энергия, поэтому мы сохранили название в информатике». Но затем жизнь поменялась, и понятие «энергия» в физике стало обозначать ровно вот это — «какой-то физический объект, который ведёт себя так, как ведёт величина из формул, где участвует ментальный/математический объект «энергия»».
Заканчивается вся эта линия рассуждений Ванчунина и соавторов про нейроны и математику обучения как основы физики теорией многоуровневой эволюции как оптимизационного вычисления-познания по типу нейронной сети, «Towards a Theory of Evolution as Multilevel Learning», 2021.