>>27782
Классический курс матана-I начинается с определения вещественных чисел по Дедекинду. Продолжается эпсилон-дельта определением предела последовательности, арифметических его свойств, свойств бесконечно-малых последовательностей и через них - свойств сходящихся. Дальше следуют теоремы Вейерштрасса, Коши-Кантора о вложенных отрезках, Больцано-Вейерштрасса о подпоследовательностях и критерий Коши. Потом даётся определение предела функции по Коши и по Гейне, доказывается их эквивалентность. С помощью предела по Гейне все теоремы о последовательностях переносятся на функции. Потом как-то вдруг возникают непрерывные функции и их свойства. Дальше идут друг за другом пафосные именные теоремы: Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора, об обратной. Потом как-то сикось-накось определяются элементарные функции - традиционно проёбывается определение тригонометрических. Дальше всякие эквивалентные бесконечно-малые, типы неопределённостей и прочая туфта. Потом возникает производная. В этом месте препод, надувши щёки, важно возвещает, что производная-де - это тангенс угла наклона касательной. Затем впадает в своё обычное коматозно-горячечное состояние и выписывает таблицу производных. Дальше ещё одна порция именных теорем: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа, Тейлора, Лопиталя. Затем препод выписывает несколько рядов Маклорена, раскрывает несколько неопределённостей, исследует несколько функций, и на этом курс благополучно заканчивается. Впереди интегралы.

Так вот, физикам всё это не нужно. Ни один физик в своей деятельности эпсилон-дельта нотацией пользоваться сроду не будет. А у всех названных выше теорем не запомнит даже названий. Ну и зачем, спрашивается, огород городить?

Я предлагаю преподавать что-нибудь, что хотя бы как-то может пригодиться физикам. Начать можно с определения графа. Затем ввести функции как частный случай графа. Затем, таки да, определить категории и функторы. Не понимаю, почему все так их боятся, ведь определение категории через графы очень простое. Категория - ориентированный мультиграф такой, что
1. В каждой вершине висит петелька
2. Если есть путь из A в B, то есть и стрелка из A в B, соответствующая этому пути
Ещё нужно сказать пару слов о правилах манипулирования путями - по каким правилам пути можно приравнивать друг к другу, по каким правилам можно выкидывать из пути старые стрелки или добавлять новые. Совсем не сложно, правда? Уж всяко не сложнее, чем нудный рассказ о дедекиндовых сечениях.

Ориентированный - значит, каждое ребро является стрелочкой.
Мультиграф - между двумя вершинами может быть много стрелок, даже бесконечно-много. Каждая стрелка имеет своё собственное имя.
Путь - это последовательность стрелок, путь имеет вид A->B->...->Y->Z.

Располагая понятием категории, можно определить основные структуры pointless topology (тоже как граф), то есть очень быстро рассказать обо всём, что связано с непрерывностью. Потом ввести производные и интегралы как особую структуру в категории (и их тоже как граф, всё наглядно и никаких лишних больцано-кошей). Дальше - гладкие многообразия и классические структуры на них. И немедленно лагранжеву механику. Как, например, вот тут: https://arxiv.org/pdf/1612.03100.pdf

Таким образом, всю ключевую математику можно изложить не то что за один семестр, но даже за одну лекцию. В Ландау-Лифшице есть попытка сделать что-то похожее, но у Ландау не получилось, он пользовался слишком архаичными идеями.

Остаток семестра можно занять изучением какой-нибудь полезной теории когомологий (я бы предпочёл структуры Ходжа и когомологии Дольбо, но это не принципиально, можно и просто де Рама). А если останется время, то можно определить категории Фукая и рассказать теоретические основы M-теории. И всё это в первом семестре.

Преимущества такого пути очевидны. Физики не будут забивать себе голову бесполезными вещами, зато получат концептуально правильную интуицию и сразу же поймут, что же такое лагранжиан. Не просто услышат термин, как это часто бывает, но получат строгое и точное понимание, и даже немедленно смогут им пользоваться. Из некоторых недостатков - исчезает возможность шулерски прикидываться, что элементарные функции определены. Но на самом деле это не недостаток, и вот почему:

Давать физикам строгое определение элементарных функций бесполезно. Оно требует очень искусного определения вещественных и комплексных чисел, а физики не изучают даже строгую теорию вещественных чисел. Для неё требуется продвинутая теория множеств, а у физиков нет времени на теорию множеств. Как правило, физик, проучившийся своему "матану" целых два года, даже не сможет внятно рассказать, почему 0.(9) = 1, и начинает лепетать что-то невнятное про какие-то там бесконечно-малые. Не говоря уже о более хитрых вопросах - например, почему класс интегрируемых по Риману функций шире класса непрерывных функций, т.е. из-за каких особенностей определения интеграла Римана такое произошло, т.е. какова же причина справедливости критерия Лебега. А ведь по бумагам физик должен знать такие вещи. Бумаги, таким образом, лгут.

Поэтому считать производные, брать интегралы, манипулировать рядами, жонглировать множителями Лагранжа - в общем, всем рутинным вычислениям нужно учить без глубокой теории, чисто механически. Так же, как делению в столбик и вычислению определителей методом Гаусса. И делать это нужно на семинарах, а не на лекциях. Тупо выдать таблицу производных и научить ею пользоваться; де-факто так и происходит.

Я считаю, что тратить время на бессмысленное повторение никому не нужных вещей попросту нелепо. Но пока в университетах преподают старые маразматики пенсионного возраста, из года в год талдычащие одну и ту же архаику, хороших вещей у нас не будет.