35 Кб, 612x855Не нашёл - создал!
Размышляю над одним вроде бы сравнительно несложным вопросом по гамильтоновым системам.
Вот, положим, у нас есть обычная плоскость $\mathbb R^2$ с координатами $(x,y)$, её кокасательное расслоение, изоморфное $\mathbb R^4$ с координатами $(p,q,x,y)$ и гамильтоново векторное поле на нём с гамильтонианом вида $H(p,q,x,y)=\frac{1}{2}(p^2+q^2)+V(x,y)$, то бишь просто сумма кинетической энергии, записанной через импульсы масса обезразмерена, на неё забиваем болт и произвольного гладкого потенциала.
Записав уравнения Гамильтона, получаем пик я просто не знаю, поддерживает ли местная разметка перенос строки для записи системы уравнений, если кто знает, подскажите. Собственно, вопрос - есть ли какие-то разумные способы отыскать первые интегралы у этой системы уравнений?
Буду заходить сюда время от времени и бампать своими идеями, немногочисленными и не очень плодотворными.
По совместительству - интегрируемых систем нить иди! А то чё тут у вас только первокурсники и школяры задачки обсуждают, уважаемая доска всё-таки хотя и почти мёртвая, пиздец просто, спрашивал в треде общих вопросов, так там вообще никого нет, а в "Математике для начинающих N+1" один анон мне что-то невнятное попытался донести, и то быстро утонула тема.
Размышляю над одним вроде бы сравнительно несложным вопросом по гамильтоновым системам.
Вот, положим, у нас есть обычная плоскость $\mathbb R^2$ с координатами $(x,y)$, её кокасательное расслоение, изоморфное $\mathbb R^4$ с координатами $(p,q,x,y)$ и гамильтоново векторное поле на нём с гамильтонианом вида $H(p,q,x,y)=\frac{1}{2}(p^2+q^2)+V(x,y)$, то бишь просто сумма кинетической энергии, записанной через импульсы масса обезразмерена, на неё забиваем болт и произвольного гладкого потенциала.
Записав уравнения Гамильтона, получаем пик я просто не знаю, поддерживает ли местная разметка перенос строки для записи системы уравнений, если кто знает, подскажите. Собственно, вопрос - есть ли какие-то разумные способы отыскать первые интегралы у этой системы уравнений?
Буду заходить сюда время от времени и бампать своими идеями, немногочисленными и не очень плодотворными.
По совместительству - интегрируемых систем нить иди! А то чё тут у вас только первокурсники и школяры задачки обсуждают, уважаемая доска всё-таки хотя и почти мёртвая, пиздец просто, спрашивал в треде общих вопросов, так там вообще никого нет, а в "Математике для начинающих N+1" один анон мне что-то невнятное попытался донести, и то быстро утонула тема.
Опять забыл написать, что существование одного первого интеграла в виде самой функции Гамильтона $H=T+V$ здесь очевидно в силу отсутствия зависимости гамильтониана от времени.
>>3472 (OP)
Тебе уже ответили: открываешь учебник и ищешь достаточные/необходимые условия для этих своих интегралов. Применяешь к твоей системе. Я не поверю, что квантовый осциллятор с потенциалом никто не изучал, наоборот, он везде быть должен
Слишком узкая тема, но ради бога
Тебе уже ответили: открываешь учебник и ищешь достаточные/необходимые условия для этих своих интегралов. Применяешь к твоей системе. Я не поверю, что квантовый осциллятор с потенциалом никто не изучал, наоборот, он везде быть должен
>По совместительству - интегрируемых систем нить иди!
Слишком узкая тема, но ради бога
>>3472 (OP)
Поддерживает, у неё полный amsmath подключен. И расстояния между строками можно менять.
$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
x + y + z = 29, \\
y + 2z = 26, \\
2y + z = 25
\end{array}\right.$
>поддерживает ли местная разметка перенос строки для записи системы уравнений, если кто знает, подскажите
Поддерживает, у неё полный amsmath подключен. И расстояния между строками можно менять.
$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
x + y + z = 29, \\
y + 2z = 26, \\
2y + z = 25
\end{array}\right.$
Я плохо в топике разбираюсь, могу фигню написать. Пусть W = -V, тогда H= (p^2+q^2)/2 - W. L первый интеграл если {H,L] = 0 это эквивалентно тому что (p,q,Wx,Wy) * (Lx,Ly,Lp,Lq) = 0. Нужно выбрать хороший базис векторных полей ортогональных векторному полю (p,q,Wx,Wy). Скажем (-q,p,-Wy,Wx), (-Wx,-Wy,p,q), (-Wy,-Wx,q,p). Что дает 3 системы диф уравнений. Решая их получим решения
L=-qx+py-p dW/dy + q dW/dx
L=-W + (p^2+q^2)/2
L=-x dW/dy - y dW/dx + (p^2+q^2)/2
или, в исходных терминах
L=-qx+py+p dV/dy - q dV/dx
L=V + (p^2+q^2)/2
L=x dV/dy + y dV/dx + (p^2+q^2)/2
L=-qx+py-p dW/dy + q dW/dx
L=-W + (p^2+q^2)/2
L=-x dW/dy - y dW/dx + (p^2+q^2)/2
или, в исходных терминах
L=-qx+py+p dV/dy - q dV/dx
L=V + (p^2+q^2)/2
L=x dV/dy + y dV/dx + (p^2+q^2)/2
>>3499
Cори, неправильно решил, правильно будет
L=-qx+py+p dV/dy - q dV/dx
L=V + (p^2+q^2)/2
L=x dV/dy + y dV/dx + 2pq
Cори, неправильно решил, правильно будет
L=-qx+py+p dV/dy - q dV/dx
L=V + (p^2+q^2)/2
L=x dV/dy + y dV/dx + 2pq
>>3501
бля, это не решения, забей, короче нужно решить
dL/dx = -q
dL/dy = p
dL/dp = dV/dy
dL/dq = -dV/dx
и
dL/dx = dV/dy
dL/dy = dV/dx
dL/dp = q
dL/dq = p
решения для второго это V(y,x)+pq для первого не знаю
бля, это не решения, забей, короче нужно решить
dL/dx = -q
dL/dy = p
dL/dp = dV/dy
dL/dq = -dV/dx
и
dL/dx = dV/dy
dL/dy = dV/dx
dL/dp = q
dL/dq = p
решения для второго это V(y,x)+pq для первого не знаю
>>3487
Спасибо, анон!
>>3484
Так же можно про любой вопрос сказать, смысл вообще тогда создавать треды на доске? Вон в соседнем анон пытался разобраться, как работает синус и косинус для произвольного действительного угла, так его не закидали хуями, а нормально попытались что-то объяснить.
>>3499
>>3501
>>3502
Спасибо огромное, обязательно на досуге подумаю над этим.
Алсо, немного проще было бы воспринимать это в затеханном виде, доска ж поддерживает полный amsmath
Спасибо, анон!
>>3484
Так же можно про любой вопрос сказать, смысл вообще тогда создавать треды на доске? Вон в соседнем анон пытался разобраться, как работает синус и косинус для произвольного действительного угла, так его не закидали хуями, а нормально попытались что-то объяснить.
>>3499
>>3501
>>3502
Спасибо огромное, обязательно на досуге подумаю над этим.
Алсо, немного проще было бы воспринимать это в затеханном виде, доска ж поддерживает полный amsmath
>>3513
Пожалуйста. Первое вообще решений не имеет потому что форма $-qdx + pdy + \frac{dV}{dy} dp - \frac{dV}{dx} dq$ не замкнута. Возможно система имеет только два интеграла.
Пожалуйста. Первое вообще решений не имеет потому что форма $-qdx + pdy + \frac{dV}{dy} dp - \frac{dV}{dx} dq$ не замкнута. Возможно система имеет только два интеграла.
>>3523
гамильтониан это $V(x,y) + \frac{p^2 + q^2}{2}$
гамильтониан это $V(x,y) + \frac{p^2 + q^2}{2}$
>>3520
Про два интеграла (которые в инволюции находятся) это действительно так и есть, потому что есть Теорема Лиувилля. Размерность симплектического многообразия $=4=2n\implies$ кол-во первых интегралов в инволюции $=n=2$.
Ну вроде так, если я правильно понимаю. Алсо, вообще всего различных функционально независимых первых интегралов здесь будет, конечно же, $2n-1=3$, это по общей теореме из диффуров, типа такой, как в этой статье из вики
https://ru.wikipedia.org/wiki/Первый_интеграл
Про два интеграла (которые в инволюции находятся) это действительно так и есть, потому что есть Теорема Лиувилля. Размерность симплектического многообразия $=4=2n\implies$ кол-во первых интегралов в инволюции $=n=2$.
Ну вроде так, если я правильно понимаю. Алсо, вообще всего различных функционально независимых первых интегралов здесь будет, конечно же, $2n-1=3$, это по общей теореме из диффуров, типа такой, как в этой статье из вики
https://ru.wikipedia.org/wiki/Первый_интеграл
>>3528
Ну вот я тоже подумал что должно быть 3 из общих соображений: пересечение ядер внешних производных первых интегралов должно быть интегральными кривыми соответствующего векторного поля, т.е. чем-то одномерным, ядро 1-формы это что-то трехмерное в четырехмерном, поэтому нужно 3 чего-то трехмерного чтобы в пересечении получилось одномерное. Поэтому странно что один из диффуров, решение которого должно быть первым интегралом. А что за инволюция на первых интегралах?
Ну вот я тоже подумал что должно быть 3 из общих соображений: пересечение ядер внешних производных первых интегралов должно быть интегральными кривыми соответствующего векторного поля, т.е. чем-то одномерным, ядро 1-формы это что-то трехмерное в четырехмерном, поэтому нужно 3 чего-то трехмерного чтобы в пересечении получилось одномерное. Поэтому странно что один из диффуров, решение которого должно быть первым интегралом. А что за инволюция на первых интегралах?
>>3537
Поэтому странно что один из диффуров, решение которого должно быть первым интегралом, не имеет решения.
самофикс
> Поэтому странно что один из диффуров, решение которого должно быть первым интегралом
Поэтому странно что один из диффуров, решение которого должно быть первым интегралом, не имеет решения.
самофикс
93 Кб, 1561x340>>3537
>>3538
Очень интересная идея доказательства того факта из общей теоремы о первых интегралах, раньше не видел, спасибо.
По поводу инволюции интегралов см. пик. Собственно, в этом и состоит интересное различие между просто системами диффуров (у обычной автономной системы ОДУ 4-го порядка локально существует 3 независимых первых интеграла) и гамильтоновыми системами - на первые интегралы у последней можно наложить более жёсткое условие про инволюцию, но зато это даёт много разных полезных свойств. Кстати, не совсем уверен, но вроде бы эти вышеупомянутые интегралы в инволюции существуют глобально, а не локально.
При этом, конечно, надо понимать, что общая теорема тоже, конечно же, работает, просто там интегралы похуже (зато их побольше).
ОП
>>3538
Очень интересная идея доказательства того факта из общей теоремы о первых интегралах, раньше не видел, спасибо.
По поводу инволюции интегралов см. пик. Собственно, в этом и состоит интересное различие между просто системами диффуров (у обычной автономной системы ОДУ 4-го порядка локально существует 3 независимых первых интеграла) и гамильтоновыми системами - на первые интегралы у последней можно наложить более жёсткое условие про инволюцию, но зато это даёт много разных полезных свойств. Кстати, не совсем уверен, но вроде бы эти вышеупомянутые интегралы в инволюции существуют глобально, а не локально.
При этом, конечно, надо понимать, что общая теорема тоже, конечно же, работает, просто там интегралы похуже (зато их побольше).
ОП
>>3485
Тоже ахуел, причем обычно его называют гармоническим.
Тоже ахуел, причем обычно его называют гармоническим.