243567-pic905-895x505-65813.jpg59 Кб, 895x504
Построение действительных чисел с нуля 59491 В конец треда | Веб
Меня интересует вопрос. Есть аксиомы поля, которым удовлетворяет множество действительных чисел. А есть ли это самое множество и как оно построено? Что бралось из аксиом для его построения?
2 59492
>>59491 (OP)
В самом начале любого университетского курса по мат. анализу строятся множества Q и R, открой и посмотри
/thread
3 59493
>>59492
Не пизди. Там как раз без построения начинают. Смотри лекции матмеха и любые учебники.
4 59494
>>59491 (OP)
Строится в теории множеств по аксиомам Цермело-Френкеля. Существование индуктивного множества постулируется аксиомой бесконечности, из неё выводится теорема индукции, с которой доказываются что множество натуральных чисел абелева полугруппа. Операция сложения и умножения определяются индуктивно.
Затем прямым произведением NxN строится множество целых чисел, индуцируемое классами эквивалентности. Множество N вложено в него изоморфно. Затем из ZxZ аналогично строятся рациональные. Ну а сами вещественные числа определяются как фундаментальные последовательности Коши, порождающие классы эквивалентности всех таких функций из N—>Q. Рациональные числа также вложены, как последовательность констант с сохранением структуры. Доказывается что R архимедово поле удовлетворяющее принципу верхней грани - и теперь элементы множества R рассматриваются как точки в топологии.
Из рациональных также приходят к действительным, строя дедекиндовы сечения, уже без классов эквивалентности. Также есть несколько других способов, но они менее распространены.
5 60045
>>59494
То есть когда мы доказываем что то по индукции, мы пользуемся этой теоремой?
6 60054
>>60045
Нет, мы пользуемся аксиомой Пеано. Но это одно и то же.
7 60182
>>59494
Небольшое уточнение/дополнение. Определение индуктивного множества I звучит как
1. Пустое множество - элемент I
2. Если i - элемент I, то i∪{i} - элемент I
Иногда думают, что индуктивное множество - это то же самое, что множество N. Но на самом деле индуктивными множествами являются все предельные ординалы старше w0. В частности, w+w и w+w+w.
Поэтому аксиома индукции ещё не постулирует существование N. Она говорит, что существует хотя бы один бесконечный предельный ординал. А существование N таки нужно выводить.
15714078366500.jpg136 Кб, 1280x720
8 60271
>>60182
Стоп, ты тот кто мне сегодня третью аксиому "вывел" в топологии? Ты еще и N выводишь?
9 60294
>>60182
считать дальше N шизофрения
10 60360
>>60182

>1. Пустое множество - элемент I


>2. Если i - элемент I, то i∪{i} - элемент I


Это есть определение N, довен. Вот определение ординала:
1. Пустое множество - элемент I
2. Если i - элемент I, то i∪{i} - элемент I
Let S be a set. If S satisfies the two properties,
1) S a transitive set,
2) S is strictly ∈-well-ordered
then S is called an ordinal number.
11 60361
>>60182

>1. Пустое множество - элемент I


>2. Если i - элемент I, то i∪{i} - элемент I


Это есть определение N, довен. Вот определение ординала:

Let S be a set. If S satisfies the two properties,
1) S a transitive set,
2) S is strictly ∈-well-ordered
then S is called an ordinal number.
12 60363
>>60360

>Это есть определение N, довен.


Нет. N определяется как класс, являющийся пересечением всех множеств со свойствами 1 и 2. Этот класс является множеством, так как существует класс, элементом которого он является, - класс Ord.

Легко проверить, что свойствами 1 и 2 обладает w0+w0. Очевидно, не являющееся множеством N.
13 60364
>>60363
Ты слепой? Это поредение ординала. Читай второй пост. Легко проверить... вот долбоеб. Это доказательства на страниц 10. Хотя может у тебя есть с кванторами своё.
14 60365
>>60364
Слишком толсто.
15 60366
>>60365
Ты уебан, отвечаю.
Обновить тред
« /math/В начало тредаВеб-версияНастройки
/a//b//mu//s//vg/Все доски

Скачать тред только с превьюс превью и прикрепленными файлами

Второй вариант может долго скачиваться. Файлы будут только в живых или недавно утонувших тредах.Подробнее