Заметки 52498 В конец треда | Веб
Просто оставлю это тут.
https://pastebin.com/96XPBCEs
Если найдёте ошибки или
возникнут вопросы --- пишите.
2 52499
3 52500
4 52502
5 52503
6 52504
7 52510
ТОЖДЕСТВА С СОПРЯЖЕНИЕМ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ КОММУТАТОРАМИ

Определения:
$a^b = b^{-1}ab$
$[a,b] = a^{-1}b^{-1}ab$

Мы используем "правонормированные" коммутаторы.
В тождествах с "левонормированными" коммутаторами
надо использовать сопряжение слева, а не справа
(что трудно записать в компьютерном тексте),
а так же группировать кратные коммутаторы влево:
$[[ , ], ]$, а не вправо: $[ ,[ , ]]$.

Эквивалентная характеризация:
$ab = ba^b$
$a[a,b] = a^b$

$ba[a,b]=ab$

$abc = (bc)a^{bc}$
$abc = ba^bc = bc(a^b)^c$
=> $a^{bc} = (a^b)^c$

$abc = c(ab)^c$
$abc = acb^c = ca^cb^c$
=> $(ab)^c = a^cb^c$

$[a,b]^{-1} = [b,a]$ (кососимметричность)
$[a,b]^g = [a^g,b^g]$ (функториальность)

$a[a,bc] = a^{bc} = (a^b)^c = (a[a,b])^c
= a^c [a,b]^c = a[a,c][a,b]^c$
=> $[a,bc] = [a,c][a,b]^c$ (дистрибутивность)
Обращением получаем: $[bc,a] = [b,a]^c [c,a]$.
Подставив в первое $b=c^{-1}$, получаем:
$[c,a] = [a,c^{-1}]^c$.

Лёгкое тождество Якоби:
$a(bc)[bc,a] = (bc)a$
(циклическая перестановка $(a,b,c)$).
Поэтому: $abc[bc,a][ca,b][ab,c]=abc$
=> $[bc,a][ca,b][ab,c]=1$.

Тяжёлые тождества Якоби (тождества Холла и Холла-Витта):

$a^b[a^b,[b,c]] = (a^b)^{[b,c]} = a^{b[b,c]} = a^{b^c}$

$[ ] := [a^b,[b,c]] = [a^b,[c,b^{-1}]^b] = [a,[c,b^{-1}]]^b$

$bca^b[ ] = bca^{b^c} = cb^ca^{b^c} = cab^c$
(циклическая подстановка $(a,b,c)$)

Поэтому:
$[a^b,[b,c]] [b^c,[c,a]] [c^a,[a,b]] = 1$
(тождество Холла)
$[a,[c,b^{-1}]]^b [b,[a,c^{-1}]]^c [c,[b,a^{-1}]]^a = 1$
(тождество Холла-Витта).
7 52510
ТОЖДЕСТВА С СОПРЯЖЕНИЕМ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ КОММУТАТОРАМИ

Определения:
$a^b = b^{-1}ab$
$[a,b] = a^{-1}b^{-1}ab$

Мы используем "правонормированные" коммутаторы.
В тождествах с "левонормированными" коммутаторами
надо использовать сопряжение слева, а не справа
(что трудно записать в компьютерном тексте),
а так же группировать кратные коммутаторы влево:
$[[ , ], ]$, а не вправо: $[ ,[ , ]]$.

Эквивалентная характеризация:
$ab = ba^b$
$a[a,b] = a^b$

$ba[a,b]=ab$

$abc = (bc)a^{bc}$
$abc = ba^bc = bc(a^b)^c$
=> $a^{bc} = (a^b)^c$

$abc = c(ab)^c$
$abc = acb^c = ca^cb^c$
=> $(ab)^c = a^cb^c$

$[a,b]^{-1} = [b,a]$ (кососимметричность)
$[a,b]^g = [a^g,b^g]$ (функториальность)

$a[a,bc] = a^{bc} = (a^b)^c = (a[a,b])^c
= a^c [a,b]^c = a[a,c][a,b]^c$
=> $[a,bc] = [a,c][a,b]^c$ (дистрибутивность)
Обращением получаем: $[bc,a] = [b,a]^c [c,a]$.
Подставив в первое $b=c^{-1}$, получаем:
$[c,a] = [a,c^{-1}]^c$.

Лёгкое тождество Якоби:
$a(bc)[bc,a] = (bc)a$
(циклическая перестановка $(a,b,c)$).
Поэтому: $abc[bc,a][ca,b][ab,c]=abc$
=> $[bc,a][ca,b][ab,c]=1$.

Тяжёлые тождества Якоби (тождества Холла и Холла-Витта):

$a^b[a^b,[b,c]] = (a^b)^{[b,c]} = a^{b[b,c]} = a^{b^c}$

$[ ] := [a^b,[b,c]] = [a^b,[c,b^{-1}]^b] = [a,[c,b^{-1}]]^b$

$bca^b[ ] = bca^{b^c} = cb^ca^{b^c} = cab^c$
(циклическая подстановка $(a,b,c)$)

Поэтому:
$[a^b,[b,c]] [b^c,[c,a]] [c^a,[a,b]] = 1$
(тождество Холла)
$[a,[c,b^{-1}]]^b [b,[a,c^{-1}]]^c [c,[b,a^{-1}]]^a = 1$
(тождество Холла-Витта).
8 52513
>>52498 (OP)

>ЛЕММА УРЫСОНА


В указанной формулировке неверна

>Вложим белое множество в чёрное, затем чёрное в белое и так до бесконечности (рис. 1), после чего применим отображение к чёрным слоям, а остальное оставим на месте.


Пиздец
9 52518
>>52513
Как памятка мб и норм, я сразу понял, о чём речь.
10 52520
>>52513

>В указанной формулировке неверна


Что не так?

>Пиздец


лол
11 52533
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА-КЭЛИ

Матрицу, определитель которой должен оказаться нулём, можно интерпретировать
как матрицу, элементами которой являются коммутирующие эндоморфизмы. Если
умножить её на строку, элементами которой являются базисные векторы, то
получится нулевая строка. Домножив это равенство справа на присоединённую
матрицу, получим, что определитель (который является эндоморфизмом) зануляет
базисные векторы.

Не обязательно было использовать базис, матрицу преобразования можно записать
в любых образующих и умножить на строку из этих образующих.
13 52591
Обновляемая версия с исходным кодом: https://mega.nz/#F!LyglUAAT!K4eIT3HGnARicCLOzbjHsQ
14 52596
Спасибо, тоже летом может сяду за систематизацию своей хуйни, присовокуплю может быть.
15 52616
>>52498 (OP)
У меня тоже такое есть, но я никому не покажу!
16 52673
>>52596
Будет здорово если в твоём говне окажется хоть что-то, заслуживающее внимания.
17 52714
>>52591
Добавил жорданову форму.

Ну что, неужели никто не нашёл ошибок?
18 52729
Добавил доказательство простоты знакопеременной группы.
C2414CC0-153C-4CFF-A8CE-20B04A3019C4.jpeg51 Кб, 790x624
19 52802
>>52591
Добавил теорему Пуанкаре-Биркгофа-Витта.
Доказательство из книги Серра об алгебрах Ли, только там он, вроде бы, неясно проговаривает предположение индукции.
20 52804
>>52802
систематизируй хотя бы абстрактно типа "алгебра топология механика"
21 52811
>>52804
Сделал.
22 52817
>>52811
Отправил 50 рублей.
23 52818
Есть идея, что когда делаешь курс, надо держать доказательства основных фактов отдельно от самого построения курса: выбора тем и их порядка, философии и т. д. Так работа разделяется на два куска.
24 52819
Добавил заметку о связи куба и додекаэдра с исключительными изоморфизмами.
25 52823
Мне нравится твой конспект!
26 52834
>>52823
Спасибо.
Говнорастр почти полностью превратился в говновектор.
27 52838
Добавил иллюстрацию к сопряжению. Смешно. Но я понял, что такое сопряжение, только когда нарисовал эту картинку.
28 52849
Фактиков про линейную алгебру побольше.
29 52851
>>52849
Как раз добавил про определитель и след.

И инварантность формы Киллинга.
30 52885
Добавил "мотивацию к лемме Цассенхауза" и одно тождество, связывающее мультипликативные и аддитивные коммутаторы (на знаю, нужно ли, но пусть будет).
31 52953
Добавил про экспоненту линейного векторного поля, но я в этом не разбираюсь. Что мешает определить экспоненту произвольного непрерывного векторного поля такой же формулой?
32 52957
Добавил одну важную переформулировку свойства быть дифференцированием алгебры.
13FDC826-1A71-4429-A39F-259C0613FB17.jpeg970 Кб, 2048x1147
33 53066
Добавил заметку об объёме шара и сферы.
Кстати, вспомнил, где я видел эту теорему Архимеда.
Пикрелейтед, "мера Сато-Тейта", --- это ведь это и есть?
34 53107
>>52591
Добавил теорему Джекобсона о плотности.
35 53115
Оп, а в какой проге ты эти милые картинки-схемы делаешь? Не хочется качать что-то тяжеловесное типа фотошопа.
36 53116
>>53115
Всё в LaTeX.tex. Картинки записаны текстом в METAPOST.
Компилирую это всё онлайн на https://www.overleaf.com
Или ты имеешь в виду старые пиксельные? Это GIMP, но наверное что угодно подойдёт.
37 53121
>>53116
METAPOST похоже то что мне нужно, спасибо. Про твой вопрос о векторных полях: я его не совсем понял если честно, экспонента берётся у тебя не от векторного поля. а от "преобразования" (оператора) ровно как у тебя и написано. Как ты правильно заметил, так можно определить взятие целой функции от любого элемента в любой банаховой алгебре (= C-алгебре с нормой, полной по норме). Это по-учёному называется holomorphic functional calculus.
38 53127
>>53121

>Про твой вопрос о векторных полях: я его не совсем понял если честно


Не важно, не актуально уже.
39 53138
Добавил лемму о сжимающем отображении.
40 53150

>Натуральные числа, представимые в виде суммы двух квадратов


Напомнило мне, смотрел одно видео о жизни и творчестве Эйлера, довольно интересное, там была ссылка на архив его работ, которых не счесть.
http://eulerarchive.maa.org/
Наугад ткнул в одну и увидел там такую красотулю.
41 53153
Добавил пару философских заметок. Неуместно, плевать, пусть будет.
42 53168
Добавил существование и единственность конечного поля заданного примарного порядка.
43 53171
Годнота.
44 53187
>>53171
Ууууу... Спасибо.

Добавил абзац о формулах Ньютона к заметке о векторах Витта.
45 53193
>>52591
Добавил сумму геометрической прогрессии и конструкцию Лиувилля трансцендентных чисел.
46 53197
>>53171
Хуита.
Подправил за бесплатно. А самое хуевое то что 99% литературы сейчас пишутся ровно по такому принципу - как хуевенько сбитая выжимка разных охуительных историй до которых горюшко-автор сумел дотянуться. И вот ты читаешь-читаешь и вообще нихуя не понятно. Как результат был достигнут, как вообще ко всему этому пришли и для чего это надо, овердохуя деталей до которых тебе предлагают додуматься самому. Ты открываешь другую книгу, вторую, третью - но там все то же самое, абсолютно то же самое.
47 53201
>>53197
Это не учебник, а памятка.
48 53209
>>53197
Лекции смотреть не пробовал, умник?
49 53211
>>53197

>овердохуя деталей до которых тебе предлагают додуматься самому.


А тебе всё разжуй и в рот положи. И упражнения ещё с ответами и решениями чтобы, да? От такого обучения толку почти 0.
50 53212
>>53197
Даже не пытаюсь написать учебник (хотя кое-какие идеи на этот счёт есть), ибо некомпетентен.

>99% литературы сейчас пишутся ровно по такому принципу


Тем более не может быть претензий. Хочешь лучше --- напиши сам.
>>53201
Да.
Screenshot2019-05-09 Lorentz-invariant phase space for 2- 2[...].png2 Кб, 537x38
51 53219
>>53201

>Это не учебник, а памятка.


Хуя се а я и не заметил
>>53209

>Лекции смотреть не пробовал, умник?


Не по всем интересующим меня вещам есть. К тому же гораздо быстрее и удобнее было бы прочитать то что оформлено в текстовом виде. Но вот ведь какая хохма - когда автор берется переложить свои мысли в письменный вид на него будто нападает какое то психическое расстройство - половина выкладок идет нахуй, важные заметки сказанные по ходу лекции идут нахуй, но бля... чет текста маловато получается - надобно его разбавить водой и добавить еще дополнительных глав. Такая то пушка.
>>53211

>А тебе всё разжуй и в рот положи. И упражнения ещё с ответами и решениями чтобы, да? От такого обучения толку почти 0.


Говно в голове, мышление искалеченного учебной дедовщиной.
На пикриле терминальная стадия например. Ох и припекло у меня. Чувак, тебе задают вопрос -

>ну не знаю... как бы я не объяснил через чур понятно, какбы чего не вышло.


может дойти до

>Я придумал тут одну теорию - но рассказывать ее никому не буду, ведь все и так ясно, а вам пидорасам подумать не помешает.


inb4 ты не понимаешь по англицки он совсем не то написал ко-ко-ко-ко-ко-кукареку
>>53212

>Даже не пытаюсь написать учебник


Это правильно

>Тем более не может быть претензий.


Просто наболело, это не к тебе лично претензия, попробуй прочитать внимательнее. По поводу же твоей памятки я выразил свое мнение первым словом. Тебе уже писали оценки в треде, ну и я решил добавить свое мнение для статистики.

>Хочешь лучше --- напиши сам.


Утютютю.
52 53234
>>53197

>И вот ты читаешь-читаешь и вообще нихуя не понятно.


У тебя просто хуёвый мозг, бывает. Заметки эти, очевидно, не для таких как ты.
53 53236
>>53234
Ну все, перданул - полегче стало?
Если тебе все понятно что ты читаешь то значит ты сидишь на уровне кашки для даунов типа заметочек в итт треде и не пытаешься даже с него рыпаться.
54 53249
>>53236

>Если тебе все понятно что ты читаешь то значит ты сидишь на уровне кашки для даунов типа заметочек в итт треде и не пытаешься даже с него рыпаться.


>>53197

>А самое хуевое то что 99% литературы сейчас пишутся ровно по такому принципу - как хуевенько сбитая выжимка разных охуительных историй до которых горюшко-автор сумел дотянуться. И вот ты читаешь-читаешь и вообще нихуя не понятно.


Так ты определись --- понятно или непонятно.
>>53219

>Просто наболело


Сри в другой тред.
55 53250
>>53234
Такие заметки, очевидно, полезны только одному человеку – тому кто их составил.
56 53260
>>53250

>очевидно


Для меня это было неочевидно. Что, совсем ничего не понятно? Или имеется в виду что-то другое?
57 53263
>>53249

>Так ты определись --- понятно или непонятно.


Определился уже

>Сри в другой тред.


Лучше буду срать тебе в ротешник.
58 53287
Появились наполеоновские планы --- понятно изложить доказательство обобщённой теоремы Ван дер Вардена.
59 53303
>>53250
и то не факт

>>53260
для меня даже не очевидно, о чём ты вообще там пытаешься сказать и с какой целью
60 53304
>>53260
>>53303
В заметках очень сжатое изложение. Ты подчеркиваешь те моменты, которые лично тебе были непонятны и пропускаешь другие до которых, по твоему мнению, легко догадаться. То есть в случае другого человека может оказаться иначе, начальные знания ведь могут быть другие. Я даже уверен, что более половины отписавшихся не понимают львиную долю того что ты написал, но хвалят за effort. Я с ними соглашусь тоже.
61 53307
>>53287
Сделал (в разделе "Элементарная геометрия и топология").
Сравните, где понятнее, --- у меня, или у Бугаенко:
https://mccme.ru/free-books/dubna/bugaenko.pdf ?
62 53309
>>53287
Это какая-то хуйня комбинаторноолимпиадная. Лучше б этого другого хуя на В про строение полупростых алгебр нормально изложил.
63 53310
>>53309

>Это какая-то хуйня комбинаторноолимпиадная.


Ну, есть много теорем такого типа: "Теоремы типа Рамсея":
https://www.ihes.fr/~gromov/wp-content/uploads/2018/08/problems-sept2014-copy.pdf

>Лучше б этого другого хуя на В про строение полупростых алгебр нормально изложил.


Доказательство в книге Шафаревича "Основные понятия алгебры" мне нравится.
64 53314
Таки добавил Артина-Веддербёрна (всё для клиента).
65 53318
>>53314
>>53310
Пасибо
66 53355
>>53304
Стараюсь не использовать ничего, кроме базовых тавтологий, то есть вещей, которые надо не доказывать, а осознавать.
67 53364
Немного переписал доказательство теоремы Ван дер Вардена.
>>53304

>Я даже уверен, что более половины отписавшихся не понимают львиную долю того что ты написал, но хвалят за effort.


Серьёзно? Хотелось бы знать, что конкретно непонятно.
К тому же можно задавать вопросы ITT, постараюсь ответить.
68 53366
>>53364

>треть доказательств состоит из слова очевидно


>искренне удивляется тому что не все поняли

69 53370
На правах хуя простого внесу несколько предложений по улучшению трактата
1) воздержаться от оценочных суждений вроде "не трудно доказать что...", "легко видеть что..."
2) в качестве познавательного упражнения все высказывания вида "очевидно что Х" заменить по формуле "Х непосредственно следует из У поскольку З"
3) больше определений богу определений - каждый термин должен быть определен
extra - выложить это где-нибудь, хуй знает где но только не на меге, уж больно мозгоебно
70 53371
Добавил доказательство теоремы о строении характеристически простых групп. Единственная причина, по которой я это сделал, состоит в том, что в книге Николая Вавилова "Конкретная теория групп" на странице 293 приводится какое-то идиотское доказательство, использующее теорему о строении конечно порождённых абелевых групп.
71 53372
опечатка в 9.8.1 должна быть лямбда в кубе вместо единицы

Доказательство. Убедитесь в этом сами.
пушка
72 53373
>>53372

>опечатка в 9.8.1 должна быть лямбда в кубе вместо единицы


Спасибо.

>Доказательство. Убедитесь в этом сами.


>пушка


Написал кое-что. Смысл этой заметки состоит в том, чтобы не использовать нумерацию множества переменных и показать, что количество переменных нас вообще не волнует. А то даже когда определяют алгебру симметрических функций обычно нумеруют переменные, да и само существование этой алгебры преподносят как какой-то сюрприз.
>>53370

>хуй знает где


В том-то и дело.
73 53394
Добавил элементарное введение в комплексные числа (пункт 9.3).
74 53395
>>52498 (OP)

>ДВИЖЕНИЕ МАЯТНИКА


>$x''=-x$


За такое на физфаке убивают нахуй.
75 53396
>>53395
Что такое? Грузик на пружинке.
76 53401
>>53396
Уравнение маятника это прежде всего:
x''=-\omega^{2}Sin(x)
То что написано там, это уравнение малых колебаний.
37825046-2002-4B7E-AE18-E4BBF5306CC1.jpeg34 Кб, 1088x120
77 53404
>>53401
Жри.
78 53408
>>53404
Хуишко у тебя малый. Думай еще.
79 53416
Удалил Веддербарна. Стандартный результат, мне тут нечего сказать. Вообще, хочу сделать перерыв на несколько лет.
80 53417
>>53416
Почему? Неплохо выходит же! Что значит перерыв? Я думал ты умненький второкур вышечки, или ты про перерыв в написании твоих заметок, а не в математике?
81 53425
Всё-таки добавил про полупростоту.
>>53417

>Я думал ты умненький второкур вышечки


Давным-давно отчислили со второго курса физфака.

>или ты про перерыв в написании твоих заметок, а не в математике?


Да.
82 53430
Кстати, проверяйте доказательства, они запросто могут оказаться неправильными.
Например, доказательство теоремы Джекобсона о плотности я взял отсюда:
https://youtube.com/watch?v=bR4zxIXNBcI
но только не понял, зачем нужны все эти аннигиляторы, да и явное выписывание матрицы.
Может быть, я действительно чего-то не понимаю, и они действительно нужны?
83 53441
>>53430

>Если его ядро равно нулю, то обратный гомоморфизм даст со-отношение xn=\sum_1^{n-1} x_id_i, где d_i \in D - противоречие. Поэтому ядро равно M.


Так A(x1,...,xn) не простой.
84 53445
>>53441
Элементы ядра этого отображения имеют вид (0,0,...,0,x), то есть ядро содержится в последнем слагаемом произведения, которое изоморфно M, а M --- простой.
85 53516
>>53416

>Вообще, хочу сделать перерыв на несколько лет.


Опа опапа, я то думал что эти говно-заметочки ваяются в перерывах между почесыванием яиц и скролированием двачей, а оказывается вон оно как - перерыв нужен, да еще на несколько лет, ну нихуя себе.
86 53518
>>53516

>Опа опапа, я то думал что эти говно-заметочки ваяются в перерывах между почесыванием яиц и скролированием двачей


Да, это так.
87 53529
>>53516
Утихни гребешок
88 54653
У меня есть идея, как инвариантно определить ориентацию симплекса и оператор границы.

Назовём симплексами множества, а подсимплексами --- подмножества. Определим ориентацию симплекса и оператор границы одновременно, используя индукцию по размерности симплекса (количеству точек). Ориентированный симплекс --- это симплекс, снабжённый оператором границы $\partial$ в абелеву группу своих ориентированных подсимплексов, т. ч. $\partial^2=0$. Ориентации фиксированного симплекса очевидным образом образуют абелеву группу. Абелева группа ориентированных симплексов определяется образующими --- ориентированными симплексами --- и соотношениями --- сумма ориентаций на фиксированном симплексе даёт уже известную нам ориентацию того же симплекса. Оператор границы продолжается на неё по аддитивности.
Граница нульмерного симплекса (точки) --- это ориентированный "пустой симплекс", то есть просто элемент абелевой группы коэффициентов.
89 54662
>>54653

>Ориентированный симплекс --- <...> своих ориентированных подсимплексов



Это не определение
chains.png56 Кб, 1000x2300
90 54669
>>54662

>используя индукцию по размерности симплекса



Попытался написать формальное определение (пикрелейтед).
91 54670
>>54669
Кажется, лучше продолжить комплекс вправо нулями и определить supp для всех элементов C_0 как пустое множество.
chains.png58 Кб, 1100x2170
92 54671
>>54669
Вот более правильное определение.
chains.png62 Кб, 1100x2170
93 54680
Кажется, если обозначить через $P_n(X)$ не все подмножества мощности $n$, а только такие, которые принадлежат абстрактному симплициальному комплексу, то мы получим цепи на этом абстрактном симплициальном комплексе.

Кто-то понял это определение? Оно стандартное?
94 54720
>>54680
не, вообще непонятно, чем ты тут не занимаешься
что ещё более непонятно -- зачем
49464632-AA1A-4595-BD3E-32A2EE8CD418.jpeg48 Кб, 416x647
95 54723
>>54720
Кайфую.
96 54746
>>54680
Добавил в папку новую PDF-ку для всякого мусора и записал это туда.

В основной текст добавил теорему о существовании и единственности поля разложения.
97 54755
>>54720
В данном конкретном случае я хочу определить цепной комплекс для абстрактного симплициального комплекса, не используя нумерации вершин симплексов. В частности для A=Z/3Z это даёт понятие ориентированного симплекса и его границы, не использующее нумерации вершин.
Чисто мой загон, можно не обращать внимания.
98 54784
Категория множеств с частично определёнными отображениями эквивалентна категории множеств с отмеченной точкой: мы убираем отмеченную точку (значение отображения на её прообразе становится неопределённым).

Есть какие-то применения этой штуки?
99 54795
>>54784
Да.
95BDF525-F1A9-400A-A6EF-790F50E6D71B.jpeg17 Кб, 194x203
100 54804
>>54795
Какие?

Пикрелейтед диаграмма для биалгебр очень похожа на диаграмму тут: https:/youtube.com/watch?v=gI2csQaKJDk (10:40).
Может быть, это всё обобщается на биалгебры и что-то значит для них. Они естественно в связи с действиями возникают, а там тоже $G$-множества.
image.png203 Кб, 301x725
101 54821
>>53416

>хочу сделать перерыв на несколько лет.


ПЕРЕНИМАЮ ЭСТАФЕТУ
https://filecloud.me/3k3440wws6rs.html
ПУЧК
102 54824
>>54821
Гениально!
103 54831
>>54821
Обпучкался в голосину чёт.
104 54833
>>54821
Как раз добавил свой концептуальный взгляд на пучки и ростки в черновик. Не знаю, насколько он правилен или стандартен.
105 54836
>>54746

>Добавил в папку новую PDF-ку для всякого мусора и записал это туда.


Переписал. Теперь действительно норм.
106 54971
Добавил теорему о том, что каждое натуральное число представляется в виде суммы четырёх квадратов натуральных чисел.
107 54985
>>54971
Ого. Я так понимаю, в следующем обновлении будет доказательство гипотезы Римана?
108 54991
>>54971

>четырёх квадратов натуральных чисел


>натуральных


целых
>>54985
Это теоремка конца 18 века, ничего выдающегося.
109 54997
>>54991
а, понятно
не твой уровень такой ерундой заниматься
110 54998
>>54997
Во избежание возможных недоразумений поясню, что я и есть оп.
111 55135
Кажется, нашёл интересное определение топологии метрического пространства: это универсальная (слабейшая) топология на $M$, такая, что функция расстояния $M \times M \to \mathbb{R}$ непрерывна. Априори (как мне кажется) совсем не понятно, почему она должна существовать. Это такое не абсолютно тривиальное упражнение.

Парциальные отображения $M \leftrightarrow M \times \{x} \subset M \times M \to \mathbb{R}$ должны быть непрерывны, поэтому открытые шары открыты (как прообразы отрезков $(0,r)$). Этого и достаточно.

Тут нет ошибки?
112 55136
>>55135

>\{x}


\{x\}
113 55137
>>55135

>как прообразы отрезков $(0,r)$


Интервалов, содержащих 0.
114 55151
>>55135
Все правильно.
115 55153
>>55151
Просто это определение мне кажется менее ad hoc, чем просто декларация открытых шаров открытыми.

Алсо, ещё один педагогический принцип: сразу же после определений топологии и непрерывности должны даваться два примера: метрическая топология и топология Зарисского. Иначе вообще не понятно, в чём смысл рассатривать многие понятия из общей топологии. А так сразу понятно.
116 55156
>>55153

>зачем


Обобщенные функции.
117 55166
>>55135

>Кажется, нашёл интересное определение топологии метрического пространства <..>


Ну очень интересное определение, попробуй теперь с помощью него что-нибудь доказать

>Это такое не абсолютно тривиальное упражнение.


Тривиальное же: утверждение очевидно следует из того факта, что система открытых интервалов на R образует базу стандартной топологии на R. Обратно: тот факт, что топология открытых шаров удовлетворяет твоему универсальному свойству, влечёт этот факт про R

>>55153

>Иначе вообще не понятно, в чём смысл рассатривать многие понятия из общей топологии


Какие, например?

>педагогический принцип


Круто звучит, внушительно
118 55172
>>55166

>Какие, например?


Порядок специализации: $x$, лежащий в замыкании $y$ называется специализацией $y$.
Вообще --- зачем рассматривать нехаусдорфовы пространства.

>Ну очень интересное определение, попробуй теперь с помощью него что-нибудь доказать.


Оно естественное, а это главное.
Топология произведения определяется условием непрерывности проекций. Затем даётся явное описание.
Топология фактор-пространства определяется условием непрерывности факторизации. Затем даётся явное описание.
Топология подпространства определяется условием непрерывности вложения. Затем даётся явное описание.
Топология метрического пространства определяется условием непрерывности метрики. Затем даётся явное описание.

>Тривиальное же


Это верно, что для любой функции на $X \times X$ есть универсальная топология $X$, относительно которой она непрерывна?
119 55173
>>55172

>Это верно


верно, что топология открытых шаров удовлетворяет твоему определению. если ты не то имел в виду, выражаться надо яснее, я же по конктесту

>Порядок специализации: $x$, лежащий в замыкании $y$ называется специализацией $y$.


В первый раз о таком понятии слышу. Если не браться за топологию Зарисского, какой смысл его рассматривать?

>Вообще --- зачем рассматривать нехаусдорфовы пространства.


Ну ясно, что в общем положении незачем. У кого они появились, тот пусть и изучает. При первом знакомстве совершенно не нужно их рассматривать, только ради пары наглядных примеров, как бывает
120 55176
>>55153

>и топология Зарисского


А других важных общих примеров ниметризуемости т.е. нет?
121 55178
>>55173

>верно, что топология открытых шаров удовлетворяет твоему определению


Чего верно-то? Почему она самая слабая?
122 55179
>>55176
ты же хотел пример нехаусдорфовой, нет?
примеры неметризуемых топологий есть более простые, чем зарисского, хотя это уже субъективно
в общем, я ничего против зарисского не имею, но там всё надо доказывать, начиная уже просто с того, что это топология. я бы не стал в первом (или втором) примере такого делать

>>55178
она самая слабая потому что определена через базу топологии (базу открытых шаров)
123 55180
>>55166

>Круто звучит, внушительно


На самом деле есть ещё кое-что. Замкнутые подмножества метрических пространств --- это нули непрерывных функций (например, функции рассояния до данного замкнутого подмножества). Поэтому логично рассмотреть нули алгебраических функций, а это примерно и есть топология Зарисского.
124 55181
>>55180
если у тебя не курс алгебраической геометрии, то выбор для этого именно именно алгебраических функций не совсем ясен да и зачем сразу нули функций вообще, это довольно техническое рассуждение

всё же примеры можно изготовить и попроще
но я не настаиваю, вообще извините, что ввязался
125 55182
Добавил в "черновик" интересную связь между нормальным распределением и стандартным примером не аналитической гладкой функции.

Кстати, кто-нибудь знает, как определить образ квадратичной формы (при сюръективном отображении, скажем)? Просто для положительной формы $Q$ мы можем взять функцию $e^{-Q}$, у которой определён образ (интегрированием по слоям), который тоже является экспонентой формы. Но это только для знакоопределённых форм. А есть абстрактное определение?
126 55183
>>55182
Кажется, для любой формы можно определить образ, если у нас есть фоновая евклидова форма: мы берём ортогональное дополнение ядра отображения и ограничиваем на него. Но для образа знакоопределённой формы с помощью этого интегрирования экспоненты нам нужно меньше структуры --- нужна только евклидова форма на ядре отображения. Странно. Ладно, плевать.
127 55646
Читаю учебник Хамфри по алгебрам Ли и нашёл пару вещей, которые мне не нравятся.
1. Зачем он тут ссылается на теорему Вейля о полной приводимости представлений? Разве не естественнее сразу начать классификацию простых представлений? Пусть прдставление $V$ простое. Пусть $V_\lambda = \{v \in V \mid hv = \lambda v\}$. Мы берем сумму $V_\lambda$. Она не равна нулю, т.~к. над полем характеристики $0$ у каждого оператора есть собственный вектор. Она инвариантна относительно действия алгебры Ли, т.~к. $x V_\lambda \subset V_{\lambda+2}$, $y V_\lambda \subset V_{\lambda-2}$. Поэтому она совпадает с $V$. Сумма прямая, так как собственные векторы с разными собственным значениями линейно независимы.
2. Фраза <<факт из линейной алгебры>> абсолютно идиотская. Это общий алгебраический факт: если $y^n=0$, $xy=yx$, то $(xy)^n = x^n y^n = 0$.
128 55664
>>55182

>Добавил в "черновик" интересную связь между нормальным распределением и стандартным примером не аналитической гладкой функции.


От чего так получилось, совпадение? не думаю
129 55667
>>55664
Понятия не имею.
130 55681
>>55646

>Зачем он тут ссылается на теорему Вейля о полной приводимости представлений? Разве не естественнее сразу начать классификацию простых представлений?


Так всё равно придётся, он-то начинает с произвольного L модуля. Кроме того он рассматривает строение над любым алгебраически замкнутым полем, а теорема Вейля только над char 0 работает.
131 55684
>>55681

>Так всё равно придётся, он-то начинает с произвольного L модуля.


Выясняем строение неприводимых, затем говорим: по теореме Вейля любой разлагается на неприводимые.

>Кроме того он рассматривает строение над любым алгебраически замкнутым полем, а теорема Вейля только над char 0 работает.


Не понял. Это всё по-любому в характеристике $0$.
132 55696
>>55646

>Фраза <<факт из линейной алгебры>> абсолютно идиотская.


Это факт из линейной алгебры, доказываемый элементарно. Если просто сказать, что из y^n = 0 в любом коммутативном кольце следует (xy)^n = 0, то приложение к эндоморфизмам не приходит на ум автоматически - с тем же успехом можно подумать о любом другом приложении.
133 56085
Добавил во второй текст конструкцию исключительного действия $PSL_2(11)$ на $11$ точках и с помощью него построил вложение $PSL_2(11)$ в группу Матье $M_{12}$. Это интересно только тем, кому это интересно, но так как эти доказательства придумал я из-за лени, они практически не вычислительные (вычисления очень лёгкие и быстрые, додекаэдр используется в качестве аналогового компьютера). Пусть будут.
134 56119
>>55684

>Не понял. Это всё по-любому в характеристике $0$.


То что h действует полупросто и поэтому любое представление расскладывается в прямую сумму h-пространств верно и в положительной.
135 56153
Добавил во второй текст интерпретацию теоремы о вписанном угле как "детской" версии спина. Вообще, эта теорема и инверсия образуют (единственный?) реально интересный (и полезный) кусок школьной (?) геометрии.
136 56154
Как из обобщенный теоремы ван дер вардена следует обычная (о последовательностях)?
137 56155
>>56154
Следует? Это одномерный случай просто, доказательству плевать на размерность.

[Не уверен, что в доказательстве Артина-Веддербарна использовал именно артиновость (господи, как же ненавижу условия конечности). Для конечномерных всё ок.]
138 56160
>>56155
Похоже, что и для артиновых ок. Попробовал прояснить.
Это верно, что объединение цепочки подмодулей $M_1 < M_1 \oplus M_2 < M_1 \oplus M_2 \oplus M_3 < \ldots$ равно бесконечной прямой сумме $\bigoplus_{i=1}^\infty M_i$?
139 56215
Наконец-то записал нормальное доказательство теоремы Артина-Веддербарна. Слава богам.

P.S. Разлагается в прямую сумму или разлагается на прямую сумму?
140 56223
>>56215
На прямую сумму и липовый мёд.
141 56282
>>56215
Нет, вот теперь нормально.
142 56452
Читал evan chan napkin?
143 56463
>>56452
Нет. Похоже на длинный учебник, а у меня короткие фрагментарные доказательства отдельных фактов.
144 56574
Попытался доказать теорему об обратной функции.
145 63043
БАМП
146 64679
Слегка изменил доказательство теоремы Гильберта о нулях (добавил прямое рассуждение из лекций Каледина) и во второй текст добавил доказательство теоремы Гильберта о базисе (стандартное, но сформулированное целиком в терминах цепочек, в духе стандартного доказательства того факта, что расширение нётерового модуля с помощью нётерового модуля нётерово).
147 102987
Господи, весь этот тред --- адский кринж.
Я, кстати, до сих пор пишу эти заметочки.
Теперь оформляю короткими кусками, а не в одну псевдокнигу.
Ссылка тут:
>>52591
всё ещё рабочая.
[Сказал и пошёл отсюда, чтобы не видеть этого позора.]
148 103240
>>102987
Выглядит как интересный набор фактов и сюжетов. Интересно, есть ли у этого метаматематическая ценность или в большинстве своём эти факты только в своей области нужны?
Надо будет почитать.
149 103342
>>102987
Нифига не понятно из Ваших щаписок.
150 103703
Я правильно понимаю, что смысл 99% заметок - это вспомнить доказательство, когда ты уже когда-то его ботал?
image.png72 Кб, 670x310
151 106030
>>102987
ОП, объясни интерпретацию. Каким образом элементы матрицы это эндоморфизмы и эндоморфизмы чего это?
6D057298-F460-4615-8194-E39166EB814F.jpeg417 Кб, 1366x905
152 106073
>>106030

1. Читать старые заметки в тех случаях, когда на эту тему есть более свежие — не очень разумно, в частности, как раз по причине подобного рода расплывчатых текстовых описаний. Скриншот более свежей версии данного доказательства приложен. Может быть, так будет понятнее.

2. Не очень понимаю, с какого места объяснять. Вот, скажем, четыре факта:

а) Пусть V — абелева группа, R — ассоциативное унитальное кольцо. Продолжить структуру абелевой группы на V до структуры R-модуля на V — это то же самое, что задать кольцевой гомоморфизм R \to \End(V), где \End(V) — это кольцо эндоморфизмов V как абелевой группы.

б) Пусть V — модуль над ассоциативным унитальным кольцом R. Задать эндоморфизм \varphi : V \to V R-модуля V — это то же самое, что задать отображение множеств {X} \to \End(V), где {X} — это множество с единственным элементом X, а \End(V) — это кольцо эндоморфизмов V как абелевой группы, такое что образ {X} в \End(V) поэлементно коммутирует с образом R. Образ X и соответствует \varphi.

с) Пусть R — ассоциативное унитальное кольцо, V — абелева группа. Задать отображение {X} \to \End(V) и гомоморфизм R \to \End(V), образы которых поэлементно коммутируют, — это то же самое, что задать гомоморфизм R[X] \to \End(V), где R[X] — это кольцо многочленов от переменной X с коэффициентами в кольце R. Это так по универсальному свойству многочленов.

Замечание. Если X переходит в \varphi, то образ R[X] в кольце \End(V) иногда обозначают R[\varphi]. Это про смысл обозначения на картинке.

д) Пусть V — модуль над ассоциативным унитальным кольцом R. Тогда на абелевой группе V^{\oplus I}, где I — конечное множество, индуцируется структура модуля над кольцом (I на I)-матриц с коэффициентами в R.

Скажем, среди этих четырёх фактов что-то конкретно непонятно?

Но вообще, это очень утомительно, такие длинные пояснительные тексты писать.
Это не учебник.

P. S. Отмечу, кстати, что по теореме Гамильтона-Кэли у меня нет ощущения какого-то глубокого понимания. Но это к теме имеет мало отношения.
6D057298-F460-4615-8194-E39166EB814F.jpeg417 Кб, 1366x905
152 106073
>>106030

1. Читать старые заметки в тех случаях, когда на эту тему есть более свежие — не очень разумно, в частности, как раз по причине подобного рода расплывчатых текстовых описаний. Скриншот более свежей версии данного доказательства приложен. Может быть, так будет понятнее.

2. Не очень понимаю, с какого места объяснять. Вот, скажем, четыре факта:

а) Пусть V — абелева группа, R — ассоциативное унитальное кольцо. Продолжить структуру абелевой группы на V до структуры R-модуля на V — это то же самое, что задать кольцевой гомоморфизм R \to \End(V), где \End(V) — это кольцо эндоморфизмов V как абелевой группы.

б) Пусть V — модуль над ассоциативным унитальным кольцом R. Задать эндоморфизм \varphi : V \to V R-модуля V — это то же самое, что задать отображение множеств {X} \to \End(V), где {X} — это множество с единственным элементом X, а \End(V) — это кольцо эндоморфизмов V как абелевой группы, такое что образ {X} в \End(V) поэлементно коммутирует с образом R. Образ X и соответствует \varphi.

с) Пусть R — ассоциативное унитальное кольцо, V — абелева группа. Задать отображение {X} \to \End(V) и гомоморфизм R \to \End(V), образы которых поэлементно коммутируют, — это то же самое, что задать гомоморфизм R[X] \to \End(V), где R[X] — это кольцо многочленов от переменной X с коэффициентами в кольце R. Это так по универсальному свойству многочленов.

Замечание. Если X переходит в \varphi, то образ R[X] в кольце \End(V) иногда обозначают R[\varphi]. Это про смысл обозначения на картинке.

д) Пусть V — модуль над ассоциативным унитальным кольцом R. Тогда на абелевой группе V^{\oplus I}, где I — конечное множество, индуцируется структура модуля над кольцом (I на I)-матриц с коэффициентами в R.

Скажем, среди этих четырёх фактов что-то конкретно непонятно?

Но вообще, это очень утомительно, такие длинные пояснительные тексты писать.
Это не учебник.

P. S. Отмечу, кстати, что по теореме Гамильтона-Кэли у меня нет ощущения какого-то глубокого понимания. Но это к теме имеет мало отношения.
153 106168
>>106073
Каждый из перечисленных фактор мне понятен, кажется, но откуда они взялись и почему это естественный взгляд — абсолютно точно нет.
154 106179
>>106168
Ок.

Насчёт пункта а) ещё небольшое пояснение.
Пусть R — ассоциативное унитальное кольцо.
Обычно структура R-модуля на абелевой группе V определяется с помощью отображения множеств
R \times V \to V,
удовлетворяющего каким-то аксиомам.
Но отображения
R \times V \to V
естественно биективны отображениям
R \to \Map(V,V),
где \Map(V,V) — это множество отображений из V в V.
Функция от двух аргументов — это то же самое, что функция от одного аргумента в функции от другого аргумента.
Это соответствует биекции между множествами X^{Y \times Z} и (X^Y)^Z, где X, Y и Z — множества, из теории множеств.
Важнейший факт, различные проявления которого встречаются в математике постоянно, буквально везде, и без которого нельзя понять ничего.
Так вот, описание модуля как гомоморфизма в эндоморфизмы отсюда и берется. Это один взгляд.
Точно так же действие группы G на множестве X можно задавать с помощью отображения G \times X \to X, удовлетворяющего неким аксиомам, а можно задавать с помощью гомоморфизма группы G в группу перестановок множества X — это одно и то же.
Обновить тред
« /math/В начало тредаВеб-версияНастройки
/a//b//mu//s//vg/Все доски

Скачать тред только с превьюс превью и прикрепленными файлами

Второй вариант может долго скачиваться. Файлы будут только в живых или недавно утонувших тредах.Подробнее