>>6335 (OP)
Я понимаю этот вопрос так.

Назовём множеством натуральных чисел ℕ — множество конечных ординалов. Теперь нужно определить первые 10 чисел, которые будут цифрами в нашей будущей позиционной системе счисления: 0 := ∅, 1 := 0 ∪ {0}, 2 := 1 ∪ {1}, 3 := 2 ∪ {2}, …, 9 := 8 ∪ {8}.

Если ординал α не является предельным, обозначим следующий за ним ординал α ⊕ 1 (таким образом 10 := 9 ⊕ 1). Теперь мы можем рекурсивно определить сложение.

Сложение (+) ординалов — это бинарная операция, обладающая следующими свойствами:
1) α + 0 = α
2) α + (β ⊕ 1) = (α + β) ⊕ 1
3) α + γ = sup{ α + β | β < γ } для предельного γ ≠ 0

Такая операция существует и единственна, но нам от неё потребуются только первые два свойства, так как конечные ординалы не являются предельными. Заметим, что можно определить эту операцию явно с использованием структуры порядка. Таким же способом можно определить умножение и возведение в степень. Легко заметить, что α + 1 = α ⊕ 1, поэтому второй знак больше не нужен.

Проверим, что 2 + 2 = 4, используя первые два свойства и то, что 2 = 1 + 1 (очевидно из определения). 2 + 2 = 2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4.

Таким образом мы построили множество натуральных чисел с операцией сложения и умножения (ассоциативность и коммутативность доказываются).

Дальше строится множество целых чисел ℤ как фактормножество множества упорядоченных пар (a, b) натуральных чисел по отношению эквивалентности (a, b) ~ (c, d) ⇔ a + d = b + c.
Сложение: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Умножение: (a, b)(c, d) = (ac + bd, ad + bc)
Корректность и прочие свойства этих операций доказываются.

Затем строится множество рациональных чисел ℚ как фактормножество множества {(a, b) | a ∈ ℤ, b ∈ ℕ \ {0}} по отношению эквивалентности (a, b) ~ (c, d) ⇔ ad = bc.
Сложение: (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)
Умножение: (a, b)(c, d) = (ac, bd)

Теперь мы можем построить множество вещественных чисел ℝ, например, через дедекиндовы сечения и доказать все нужные свойства. Также нужно заметить, что порядок ординалов наследуется натуральными числами и легко переносится на целые, рациональные и вещественные числа.

Введём теперь множество десятичных дробей как множество упорядоченных пар (a, b), где a — конечная последовательность цифр от 0 до 9 (определили выше), b — бесконечная последовательность этих же цифр. Далее построим с помощью принципа Архимеда функцию ψ : → ℝ, которая каждой десятичной дроби ставит в соответствие сумму ряда Σ10ⁿa_n. Доказывается, что функция сюръективна, но не инъеквтивна. Доказывается, что дробь, стабилизирующаяся на 9, отображается в то же число, что и дробь, стабилизирующаяся на 0 (во всех остальных разрядах эти дроби совпадают кроме последнего, который во втором числе на единицу больше, чем в первом, например: ψ( 0,(9) ) = ψ( 1 ). Доказывается, что если a и b не стабилизируются на 9, то ψ( a ) ≠ ψ( b ). Таким образом мы можем построить фактормножество по отношению ψ и соответствующую функцию Ψ : → ℝ, которая уже будет сюръективной и инъективной. Теперь мы можем сказать, что построили десятичную систему счисления. На десятичных дробях можно ввести операции и порядок, а затем доказать, что отображение Ψ их сохраняет, то есть является изоморфизмом.

Докажем теперь, что 1.1 − 1.(9) = − 0.9. Действительно 1.1 − 1.(9) = 1.1 − 2 = − 0.9.

Можно было пойти и другими путями (возможно, более простыми).