Теории категорий тред №1 # OP 2473 В конец треда | Веб
В этом треде мы рисуем коммутативные диаграммы, доказываем теоремы с помощью diagram chasing и, конечно, хуесосим теоретико-множественных дидов.
2 2476
>>2473 (OP)
Джва года ждал этот тред!

По какой причине Бурбаки относились к теории категорий недружественно?
3 2480
>>2476
Почему недружественно? Откуда такая инфа? Картан вместе с Эйленбергом пилили гомоалгебру и вовсю там жонглировал функторами, а Гротендик так вообще в них души не чаял. Современный алтоп без категорий - вообще нонсенс.
5 2529
>>2480
Картан-Эйленберг пилили hom и ext для модулей, а не для категорий.
6 2545
>>2529
Бытует легенда, что категории понадобились лишь для того, чтобы определить функторы, а фукнторы - чтобы ввести естественные преобразования. Так что как бы там ни было, функторы - это уже практически категории, как независимость интеграла от пути - гомологии. Тем более, что в "Гомологической алгебре" Картана-Эйленберга есть явные ссылки на понятие категории в смысле Маклейна-Эйленберга.
7 2552
>>2473 (OP)
Тоже хочу рисовать такие картинки! Что читать, чтобы научится?
8 2565
>>2552
Голдблатт - Топосы. Категорный анализ логики.
9 2586
Хачкелеёб вкатился.
10 2609
>>2586
А вот скажи, хачкелеёб, в чём силазачем тебе категории?
11 2610
>>2609
На случай, если в будущих билдах GHC завезут очередную ковариантную ахинею, мне будет в неё легче вкатиться.
Да и на самом деле, ничего серьёзнее Категорий для Работающего МатемашЫна я так до сих пор и не прочитал.
Мне ваши Гротенфрики и Эйленбергерги как-то по барабану, если чё.
12 2626
>>2610
И сильно ли тебе помогли "категории для работающего"? Мне правда интересно, как вы используете это всё в своих хачкелях и что мешает пользоваться хачкелем без всего этого.
13 2661
Парни, такой вопрос, есть ли структуры наподобие топосов, только чтобы вместо интуиционистской логики с алгебрами Гейтинга, была паранепротиворечивая логика, с соответствующими алгебрами.
14 2790
>>2661
Авотхуйзнает. На топосах точно нет? Я чет в этих логиках и топосах не особо как-то вообще.
15 2836
>>2626
Ничего не мешает. Он же ответил вроде достаточно ясно: завезут в следующей версии гхц какую-нибудь очередную фишку - и сиди, разбирайся, что это за хуйня и что она значит. А ечли есть фундамент, то это как-то проще.

Но для написания кода на х-ле разбираться в этом необязательно, конечно.
16 2838
>>2661
А как связаны топосы и интуиционистская логика? Какую хошь логику такую на них и строй.
17 2841
>>2836
На самом деле, я не то что хочу любым способом доебаться, если что, просто мне правда сложно представить себе, что такое может быть в ЯП, что требует привлечения таких своеобразных математических структур, как категории. В явном виде, а не в духе подразумеваемых фон неймановских архитектур, булевых алгебр или чего-то ещё такого. Ну и в действительности я почти не знаком с хачкелем но знаком с быдлокодерством на иных языках в целом.
19 2846
>>2842
Интересный тред. Спасибо.
21 3938
Раз есть тред по топологии, этот тред теперь /тред?
22 3944
>>3938
Поясни, открывал Аводея и Мункреса, ничего общего.
23 3950
>>3944
Ты б еще учебник по теории множеств открыл
24 3954
>>3950
Ясно.
25 3955
>>3954
надо слушать умных людей
http://www.math.cornell.edu/~hatcher/Other/topologybooks.pdf
26 4009
>>2586
Но ведь в ваших хачкелях нет теории категорий.
27 4030
>>4009
И что? Интерес в хаскель-коммунити к ТК не обусловлен какой-то острой необходиомстью для нужд понимания/использования хаскеля. Это сопутствующий интерес, сложившийся исторически.
28 4098
>>3938
Не совсем. В алтопе используется лишь некоторое подмножество категорного аппарата. Во всяких введниях в гомоалгебры и симплициальные гомологии категории излагаются довольно куце, в виде "наивной теории категорий" (определение, что такое категория, функтор, бла-бла-бла), не затрагивая такие вещи, как лемма Йонеды или аджойнты, например. Теория категорий всё ещё интересна в более общем сеттинге, чем топология и не ограничивается только ею (включая алгебру вообще, даже какие-то там основания).
29 4100
>>4098
Ну таки аджойнты как раз из топологии пошли. Но я тоже против того, чтобы редуцировать котягории только до гом. алгебры. В тех же топосах понаделано не меньше.
30 5714
Парни, вопросик по категории отношений Rel:
Является ли пустое множество стрелкой/морфизмом в ней?

Рассмотрим три множества A, B и С. И две стрелки f: A -> B, g: B -> C (стрелки тут это множества пар). Возможно же, что g ∘ f это пустое множество, если в B нет таких элементов, которые встречаются и в f, и в g. Но композиция должна быть стрелкой.

Для справки если что:
https://ncatlab.org/nlab/show/Rel
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_of_relations
31 5726
>>5714
Является. Композиция с любым другим отношением пуста.
32 5756
ребзя, любая абелева категория вкладывается fully faithfully в категорию модулей над кольцом

расходимся, теория категорий не нужна!
33 5758
>>5756
Пруф?
34 5759
>>5756
Нахуй нужны модули над кольцом вообще?

Довольно бессмысленная структура, никогда особо не мог понять, нахуй она нужна, исключая конечно тот вариант, когда кольцо это поле.
35 5760
>>5758

https://en.wikipedia.org/wiki/Mitchell's_embedding_theorem

>>5759

> Нахуй нужны модули над кольцом вообще?



проиграл
36 5780
>>5756
И ещё exact. Как-будто на абелевы не поебать кому-то, картофан какой-то, бля.
37 5789
>>5780

как будтно на теорию категорий кому-то не поебать, если бы не абелевы и производные категории
38 5792
>>5789
ncatlab нам построит мониматюку на топосах, будете ещё, картохи, диффуры как суб-infty-группоиды мыслить.
А ещё, как минимум, на дуализацию, из которой вырасли алгебры Хопфа и квантовое группы, не похуй.
39 5806
Что такое локали и фреймы?
40 5811
>>5759
Нахуй нужно что-то, кроме модулей над кольцом, вообще?
41 5813
>>5806
Интегралы брали,
а ваши локали
мы на хуй клали.
42 5978
>>5789

>как будтно на теорию категорий кому-то не поебать, если бы не абелевы и производные категории



Кстати, а зачем нужны производные категории? Ну, можно все производные функторы записать сразу как один, можно композицию оных без спектралки написать, ну и что? Где это реально помогает? У вербита и ко, когда они обсуждали, что надо знать в математике (я говорю про более ранние обсуждения, не сегодняшние), всё время проскальзовало, что без этих категорий никуда. Но где никуда-то? Что с этим делать? Всё равно же производные функторы считаются по одному через точные последовательности. Так зачем они?

Не говори только, мол, типа как в геометрии, можно локально рассматривать, можно глобально, и типа локально это зашквар, а глобально заебись. Всё это хуйня. Что они действительно дают, эти категории?
43 5986
>>5978

ну например D^b(Coh(X))

аргумент не в том, что это более правильный формализм для производных функторов, аргумент, что это важный инвариант многообразия

кузнецов-орлов-бондал вон кучу понаоткрывали вещей, которые можно в ней увидеть. с ходу --- промежуточные якобианы.

гомологическая зеркальная симметрия формулируется в терминах эквивалентности триангулируемых категорий, одна из которых D^b(Coh(X))

извращённые пучки живут в ней, извращённые пучки нужны для того, чтобы обобщить соответствие римана-гильберта с плоских связностей на векторных расслоениях на голономные д-модули
44 5990
>>5986
А как думаешь, это естественный формализм или ad-hoc? Просто таким костылём всё это кажется - пиздец.
45 6013
>>5990

ну нет, как раз-таки описывать производные функторы на производных категориях канонiчней

понятно, что это всего лишь язык, но на этом языке проще говорить

потому что не делается например акцент на резольвентах. просто вот мы формально обратили квази-изоморфизмы комплексов и задались вопросом: как нам продлить функтор с объектов на такую категорию?

типичный пример понижения концептуальной сложности: спектралка гротендика. в классическом формализме этот результат надо формулировать именно что с использованием спектралки. с производными категориями ты просто говоришь, что при наличии достаточного количества инъективных объектов, если F-acyclics посылаются в G-acyclics, то R(G \circ F) = RG \circ RF.

понятно, что начни ты выписываеть это через конкретные резольвенты, у тебя всё равно получится спектралка. но тут ситуация как с безкоординатными рассуждениями с линейной алгебре против рассуждений, когда ты всё определёшь в базисе и потом доказываешь, что ничего от выбора базиса не зависит.
46 6014
>>5990

ну или вот: двойственность серра тоже на производных категориях формулируется естественней. двойственность серра можно сформулировать как постоение сопряжённого функтора к f_*: D^b(X) \to D^b(Y), его называют f^! обычно. так вот делинь показал (статья называется как-то типа "Cohomologie a supports propres et чтототам"), что этот сопряжённый существует по каким-то почти тавтологическим причинам. это уже когда ты начинаешь вычислять его на проективном гладком многообразии у тебя вылезает \omega в качестве дуализируещего комплекса, а так двойственность существует в гораздо большей общности. понять это, глядя в утверждение двойственности с \omega, представляется невозможным.
47 6021
>>5986
>>6014
Спасибо, очень хорошие ответы. Весьма убедительно
48 6051
>>6013
>>6014
Анончик, не уходи покаместь. Что думаешь насчёт модельных и триангулируемых категорий? Является ли это инвариантной (безрезольвентной/безкоординатной) формулировкой для всей гомотопической алгебры или это трюк, который зааксиоматизировали, потому что его слишком часто юзали?
49 6057
>>6051

тут циклическое определение: "гомотопическая алгебра" это название статьи квиллена, где он прописал определение модельных категорий.

насчёт модельных категорий у меня короче нету мнения. дело в том, что это лишь один из зоопарка формализмов (a_\infty, DG, дериваторы), которые нужны в "производной геометрии", что бы это ни значило. было бы натяжкой говорить, что эти формализмы вошли в арсенал среднего работающего математика (в отличие от производных категорий), а поскольку прям эти вещи я не изучал, являются ли модельные категории ответом на все вопросы, сказать не могу.

есть пара сюжетов более старых, классических, где возникают, типа гомологий андрэ-квиллена и кокасательного комплекса иллюзи, и с целью их ровно понять модельные категории я бы выучил (выглядит вполне подъёмно), а вот DGA и эти все альтернативные формализмы.. это уже наука переднего края, она огромная, надо кучу времени убить, чтобы составить мнение.
50 6074
>>6057
Спасибо ещё раз.
51 6077
>>6074

нзчт, я всего лишь расписался в своём неведении лол
52 6146
Я не понимаю почему сингулярный комплекс топ. пространства Cone f равен комплексу (Сone f). / C(s) (где s - вершина конуса). Нахуй доп. факторизация по точке? Не понимать.
53 6149
>>6146

у тебя ровно написано, что сингулярный комплекс Cone f определяется через самого себя. может ты что-то другое имеешь в виду?
screen.png185 Кб, 1366x768
54 6150
>>6149
Почему C.(CK)/C.(s) изоморфно cone(C.K), а не просто C.(CK)? какой в этом топологический смысл?

(CK - конус над топ. пространством, cone(K) - конус комплекса)
55 6411
>>6150

пусть f морфизм из K в L, как у вайбеля

подумай о такой симплициальной структуре на cone(f): i-симплексы это конусы над (i-1)-симплексами в К и i-симплексы в L

теперь сравни это с определением конуса морфизма на симплициальных цепных комплексах, индуцируемого f
56 6904
>>2473 (OP)
Ребятки, сколько времени вам понадобилось для освоения самого основного теорката? Ну книжек типа Эводи, Маклейна и т.д. Не углубляясь во всякие энкатегории.
57 6905
>>2473 (OP)
Есть куча универсальных конструкций:
representable functor
adjoint functor
limit/colimit
end/coend
Kan extension
dependent sum/dependent product
Ещё универсальный морфизм, хотя это и есть определение универсальной конструкции.

Так вот, всё это весело друг через друга выражается.
Они как-нибудь классифицируются? Ну то есть есть там какая-нибудь система? Или это пока слишком сложно и абстрактно.

Ну и у меня немного траблы с расширением кана через лимиты...
58 7078
А почему все носятся с канонiчностiю постоянно? Каноничный морфизм, каноничный выбор базиса, итд. Что плохого иметь несколько морфизмов например? Один есть и норм.
59 7120
>>7078
Вот обычно канонiческий и "один есть и норм". А носятся потому, что он очевиден в силу несвободы выбора каких-то условий или произвола, которые могут повлиять.
60 7216
>>2473 (OP)
Предлагаю такой вопрос - для чего может потребовать коэкспоненциал?
Обозначим его как (Z_Y, coeval).
Это начальный универсальный морфизм из объекта Z в функтор ( - \times Y).

(можно также рассматривать вариант функтора: ( Y \times - ) )
61 7613
Это, вот придумал задачку, например:
в некотором элементарном топосе есть f:X->Y, и
пусть мы знаем, что индуцированный морфизм
f_preimage : (Y->2) -> (X->2)
- биективен.

Тогда f должен быть тоже биективен. Соответсвенно пытаюсь построить invf.

Но чет у меня получается построить только отображение ( f_preimage o i_Y):Y->(X->2). А надо invf:Y->X.

Жалко чёт меня игнорируют и тред пустоват. Чому так? Мне спрашивать в местном раковнике рядом с вопросами про вычисление производных?
62 7614
>>7613
Скоро будешь спрашивать на нормальном математическом форуме, а не в этой помойке.
63 7615
>>7614
Ну, то есть, надеюсь, что тот анон заделает форум-то.
64 7621
>>7615
Конкретно этот вопрос - уже не буду - там просто по универсальному свойству пуллбэка $2^X \times_2 1$
65 7730
>>2473 (OP)
В чём сила presheaves on sites ?
Этальные когомологии и топология Гротендика?
Что почитать на эту тему для новичка?

И самый важный вопрос: С помощью этого получены ли сильные результаты, влияющие на большую часть математики?
66 7732
Сап. Насколько важно свойство F o G (в подкатегории) = F o G (в категории) при определении подкатегории? Может быть такое, что выполняются остальные свойства подкатегории, а законы композиции разные?
67 7767
>>7615

зачем? уже есть mathoverflow
68 7768
>>7730

>С помощью этого получены ли сильные результаты, влияющие на большую часть математики?



очень мудацкий вопрос. платиново мудацкий. фу такие вопросы задавать. нет, правда, анон, пойди, утопись в говне от стыда
69 7777
>>7768
Да знаю я, что мудацкий.
Похоже немного на то, когда спрашивают "А зачем ты этим занимаешься, кому это нужно?"...

Ну а вот если меня интересует мотивация перечисленных там конструкций? По-твоему о мотивации стыдно спрашивать?

(например пост https://2ch.hk/math/res/20.html#6723 (М) - мой)

Мне хотелось бы верить, что оно всё друг с другом связано и дико друг для друга полезно.

Но пока я вижу только изолированные друг от друга области.
70 7786
>>7768
Или ты имеешь в виду подобные вопросы как часть fast and loose reasoning style?
71 7816
ну так и надо спрашивать о мотивации

а твой вопрос попахивает чем-то типа "я хочу быть уверен, что этот
раздел самый важный, самый пиздатый, самый модный, правда, это так?"

во-первых, как я уже говорил, вопрос мудацкий. с какого хуя отвечающий
должен заботится о твоём душевном комфорте, и выступать тебе
оправданием, что интересующий тебя раздел самый лучший?

во-вторых, на такие вопросы ответ может быть только субъективным, что
в рамках анонимной борды делает его особенно мудацким

так, про мудацкость, надеюсь, достаточно разложил.

по существу: не очень понятно, что имеется в виду. "пучки на
сайтах". ну типа, когда ты определяешь этальные когомологии, то ты
конечно же работаешь с пучками на сайтах, этальные когомлогии это
производные функторы функтора глобальных сечений пучка на этальнм
сайте (так же как когерентные когомолгии есть производные функторы
функтора глобальных сечений пучка в обычном смысле, или на сайте
зариского). с другой стороны есть категорная логика, там тоже пучки на
сайтах, топосы и хуёпосы. целая книжка про это есть, мурдайка и
маклейна. если хочешь знать моё мнение, первое (эт. когомологии) ---
давно вошедший в обиход сюжет, рабочий инструмент, второе ---
маргинальное переливание из пустого в порожнее, что-то сродни
основаниям и теории множеств, с точки зрения работающего математика.

этальные когомологии, этальная топология конечно глубоко интегрированы
со многими разделами математики. например, с одной стороны есть
теорема сравнения, что этальные когомологии (проективного, кажется)
многообразия над C совпадают с сингулярными (ну там тонкость есть, как
это сформулировать: надо брать коэффициенты в Z/l^n Z, и брать
обратный предел, и тензорить с Q_l, в результате получится Q_l
векторное пространство, у которого размерность совпадает с
размерностью сингулярных H^*(X, R)), так что можешь смотреть на них
как на алгебраическое определение такой казалось бы топологическоей
штуки. более общо, этальная топология позволяет алгебраически
определять аналоги топологических инварианнтов. ну типа есть этальная
фунд группа, которая есть проконечное пополнение обычной (если
многобразие над C, опять же), есть вообще --- этальный проконечный
гомотопический тип.

с другой стороны, этальные когомологии можно считать не толко у
многообразий над C, можно у штук над числовым полем, например. тогда
на них действует абсолютная группа галуа. понять это действие --- в
каком-то смысле основной челлендж для теории чисел. можно работать над
конечным полем, тогда действует фробениус, есть формула следов
лефшеца, это используется например в доказательств гипотез Вейля.

можно считать этальные когомологии у колец целых числовых полей. это
вообще глючная тема, у Z оказываются когомологии как у 3-сферы. таким
образом можно думать про кольца целых числовых полей как про конечные
накрытия 3-сферы, про простые идеалы как про зацепления, там куча
аналогий. называется эта тема "arithmetic topology"

в общем куча всего. есть ещё алгебраические когомолгии де рама, так
вот можно доказывать теоремы сравнения этальных когомологий с ними, по
аналогии с тем, как есть сравнение между сингулярными и обычным де
рамом. есть ещё разложение ходжа на алгебраическом де раме, короче,
много происходит похоже на комплексные многообразия, но со своей
спецификой (действие галуа). большой кусок современной теории чисел
вокруг этого вертится (ключевые слова: п-адическая теория ходжа).
71 7816
ну так и надо спрашивать о мотивации

а твой вопрос попахивает чем-то типа "я хочу быть уверен, что этот
раздел самый важный, самый пиздатый, самый модный, правда, это так?"

во-первых, как я уже говорил, вопрос мудацкий. с какого хуя отвечающий
должен заботится о твоём душевном комфорте, и выступать тебе
оправданием, что интересующий тебя раздел самый лучший?

во-вторых, на такие вопросы ответ может быть только субъективным, что
в рамках анонимной борды делает его особенно мудацким

так, про мудацкость, надеюсь, достаточно разложил.

по существу: не очень понятно, что имеется в виду. "пучки на
сайтах". ну типа, когда ты определяешь этальные когомологии, то ты
конечно же работаешь с пучками на сайтах, этальные когомлогии это
производные функторы функтора глобальных сечений пучка на этальнм
сайте (так же как когерентные когомолгии есть производные функторы
функтора глобальных сечений пучка в обычном смысле, или на сайте
зариского). с другой стороны есть категорная логика, там тоже пучки на
сайтах, топосы и хуёпосы. целая книжка про это есть, мурдайка и
маклейна. если хочешь знать моё мнение, первое (эт. когомологии) ---
давно вошедший в обиход сюжет, рабочий инструмент, второе ---
маргинальное переливание из пустого в порожнее, что-то сродни
основаниям и теории множеств, с точки зрения работающего математика.

этальные когомологии, этальная топология конечно глубоко интегрированы
со многими разделами математики. например, с одной стороны есть
теорема сравнения, что этальные когомологии (проективного, кажется)
многообразия над C совпадают с сингулярными (ну там тонкость есть, как
это сформулировать: надо брать коэффициенты в Z/l^n Z, и брать
обратный предел, и тензорить с Q_l, в результате получится Q_l
векторное пространство, у которого размерность совпадает с
размерностью сингулярных H^*(X, R)), так что можешь смотреть на них
как на алгебраическое определение такой казалось бы топологическоей
штуки. более общо, этальная топология позволяет алгебраически
определять аналоги топологических инварианнтов. ну типа есть этальная
фунд группа, которая есть проконечное пополнение обычной (если
многобразие над C, опять же), есть вообще --- этальный проконечный
гомотопический тип.

с другой стороны, этальные когомологии можно считать не толко у
многообразий над C, можно у штук над числовым полем, например. тогда
на них действует абсолютная группа галуа. понять это действие --- в
каком-то смысле основной челлендж для теории чисел. можно работать над
конечным полем, тогда действует фробениус, есть формула следов
лефшеца, это используется например в доказательств гипотез Вейля.

можно считать этальные когомологии у колец целых числовых полей. это
вообще глючная тема, у Z оказываются когомологии как у 3-сферы. таким
образом можно думать про кольца целых числовых полей как про конечные
накрытия 3-сферы, про простые идеалы как про зацепления, там куча
аналогий. называется эта тема "arithmetic topology"

в общем куча всего. есть ещё алгебраические когомолгии де рама, так
вот можно доказывать теоремы сравнения этальных когомологий с ними, по
аналогии с тем, как есть сравнение между сингулярными и обычным де
рамом. есть ещё разложение ходжа на алгебраическом де раме, короче,
много происходит похоже на комплексные многообразия, но со своей
спецификой (действие галуа). большой кусок современной теории чисел
вокруг этого вертится (ключевые слова: п-адическая теория ходжа).
72 7847
>>7816
Сейчас вот именно Sheaves in logic я и почитываю.
Жалко, что маргинальное.

Интересно же для общего развития: логики на топосах, семантика Крипке и внутренний язык Митчелла-Бенабу.

В этом приятно копаться, чисто чтобы говорить научиться на этом категорном. Видимо меня это интересует простопотому что я не получил пока нужного количества образования? Приятель мой, говорил про одногонаучрука, который этим занимается: "все сначала хотят к [нейм]" Значит, наверное это надо пройти, пока нравится. Или лучше сразу идти дальше, только вот куда? У меня своего чувства вкуса нет.

p.s. сорян, я не Х., я просто устал
73 7905
>>7847

да понятное дело приятно копаться в определениях, синтаксисе и вещах, которые не апеллируют к чему-то существенному, а потому сложному

это как семечки лузгать
74 7911
>>7905
Это пройдёт само, или мне надо совершать над собой усилие(даже скорее насилие)?
75 7916
>>7911
>>7847
Да забей ты на этого элитиста, занимайся чем нравится. Пучки и топосы в логике тоже интересны, тем более если ты знаешь про Крипке. Интереса к топологии это не убавит, зачем сознательно ограничивать себя чем-то одним. Изучай вместе с алгебраической геометрией хоть феноменологию, хоть махаяну, а элитистов запрещающих это, посылай нахуй.
76 7917
Маклейн книгу написал про логику, он был дурак и говноед. Занимался маргинальщиной, бессмыслицей. Читать это – дурной вкус, срочно надо избавиться. Анонимный студент/аспирант с харкача, пересказывающий Каледина, так сказал.
Не соскучишься с вами.
77 7928
>>7917

какие свободные аналогии!

задай себе вопрос: про что написал маклейн книгу? когда? имеет ли отношение его книга к категорной логике?
78 7929
>>7916

я тоже знаю про семантику крипке и топосы. и замечу, никому не запрещаю чем-то там интересоваться. просто указываю, что есть ошромный сложный мир помимо категорной логики, на случай, если кому-то неочевидно
79 7960
>>7917

ну и не забудем, что маклейн бох, и ему заранее кредит доверия. и он знает ту математику, для переформулировки которой понадобится теория категорий, катенорная логика, и чёрт с рогами. может себе позволить вольный поиск, его книгу попробуют (уже попробовали) прочитать, потому что маклейн.

когда же молодой студент вышечки, любящий копаться в формализме, не хочет идти учить алггем там, потому что влом и не вызывает немедленный выброс допамина, это совсем другая история
80 7962
>>7911

> Это пройдёт само, или мне надо совершать над собой усилие(даже


скорее насилие)?

ну это твой выбор, потакать своим слабостям или нет, и кто я такой,
чтобы говорить тебе, что делать?

просто даю информацию к размышлению, что есть широко известный
феномен: играться с формализмом, доказывать эквивалентность
определений, строить пустые абстракции, не основанные на примерах,
встречающихся в природе гораздо проще и приятней, чем непосредственно
пытаться понять какое-то сложное явление.

тут конечно нет чёткой границы, есть континуум. вообще, гротендик учит
нас, что правильно выбранные определения превращают теоремы в
тавтологии. но надо различать, когда ты ищешь правильное определение,
а когда переливаешь из пустого в порожнее. это навык, это вкус,
описать в двух словах не получится. в каком-то смысле это один из
обязательных скиллов математика, лучше всего, если у тебя перед
глазами есть живой пример работающего математика, у которого ты можешь
ему научиться.
sage 81 7967
>>7960
Ну я как-то подразумевал, что тот, которому ты отвечаешь не является каким-то студентом "вышечки", а взрослым человеком, сознательно выбравшем математику уже в зрелом возрасте, поэтому меня возмутило. Если это студент такие вопросы спрашивает, то ссать в ебало ему надо, конечно, за такое.
82 7968
>>7967

я уже запутался какой анон тут кто, если кого обидел, типа, прошу прощения. подразумеваю, что если человек спрашивает что-то про обучение математике, то значит он крякает как студент, ходит как студент, значит, можно считать студентом. в любом случае, нежно лелеять своё увлечение основаниями, семантикой крипке, и топосами, при этом игнорировать остальную математику, и считать, что всё нормально, типа учусь математике, буду специалистом по топосам --- это патология, это вам кто угодно скажет.
83 7969
это >>7968, это >>7962, >>7960 и это >>7929
один и тот же анон, я. просто иногда есть емакс под рукой отформатировать, а иногда нет
84 7970
>>7969

да, изначальная простыня >>7816 тоже моя
85 8138
>>2473 (OP)

Полный прообраз пересечения множеств f(A/\B) должен быть равен пересечению полных прообразов множеств (fA)/\(fB).

Построив кубик из соответсвующих пуллбэков я получил пуллбэка одной из диагональных "плоскостей" единственный морфизм h:(f
A)/\(fB)->f(A/\B)

А как блджад, в обратную-то сторону строить?
86 8139
>>8138
Да чтоб её, разметка поехала... Там, где "f" - "f" со звёздочкой, inverse image.
87 8144
>>2473 (OP)
>>8138
Иллюстрация к моему вопросу.
IMG20170116160119.jpg2,9 Мб, 3696x4928
88 8145
89 8146
>>8144
>>8145
Всё, вопрос закрыт, просто ещё пуллбэки 2х сторон, содержащих ребро f, а потом пуллбэк правой стороны.
90 8177
>>8146
Ахах, как же я в лужу сел - прообраз же сопряженный и слева и справа функтор в топосе, так что лимиты и колимиты сохраняются, а топологии индуцируются и коиндуцируются.
91 8958
>>8177
Не расстраивайся. Всё нормально.
93 9027
>>2626
Внезапно, понимание категорий помогает в написании действительно больших приложений, если язык поддерживает композицию функций ( не только хаскель, даже си шарп это может). С опытом приходит понимание, что лучше сразу и явно отделить отношения от логики, а такой уровень абстракции - это ж категории и есть.
azmeuk.jpg69 Кб, 500x726
94 9060
>>9027

> язык поддерживает композицию функций ( не только хаскель, даже си шарп это может)

95 9063
>>9060
Также выглядят большинство идиотов, носящихся со своими пучками, тапалогиями и гамалогиями. Как же заебал этот рак.
96 9065
>>9063

ну есть идиоты носящиеся, а кто-то пользуется

утверждение же про роль теорката в функциональном программировании ПОТОМУ ЧТО КОМПОЗИЦИЯ ФУНКЦИЙ, показывает, что говорящий не в курсе ни насчёт функционального программирования, ни насчёт роли в нём категорий
97 9067
Категории в Хаскелле дают то же самое, что и в математике - правильно поставленный взгляд, правильный язык, правильные образы и метафоры, правильное понимание того, что такое на самом деле функтор, естественное преобразование, монада (сверхважный концепт в Хаскелле!), операды и т.д.
мимо-другой-хачкелеёб
98 9075
>>9063
Рак это как раз не осилившие пучки ебаноиды вроде тебя.
99 9137
>>9067

ну типа да, источник вдохновения

хотя вот недавно какой-то хаскелоёб вроде убедительно рассказал, что на данный момент нету строго определённой категории ("категории Hask"), к которой можно было бы применять теоркатные конструкции и получать концепты из хаскеля. есть какие-то тонкие причины, но короче просто типы, которые можно определить в хаскеле, не образуют категорию, в отличие от распространённого мнения (там сложность с тем, что считать морфизмами)
100 9140
>>9137

>есть какие-то тонкие причины


В интернете пишут, что из-за undefined и прочих _|_ (это тип, у которого нет значений, a la пустое множество) проблемы. Можно, вроде, взять какое-то подмножество языка и думать категорно о нём.
101 9145
>>9137
>>9140
Это известный факт. Но по мне это трудности такого же рода, что и "Cat не категория, потому что её носитель не множество". То есть как бы да, но во многих вменяемых случаях это можно игнорировать.
102 9151
>>9145

для формальной семантики отсутствие корректного определения это удар ниже пояса

для проведения аналогий оно конечно можно в такие детали как боттом не вникать
103 9152
>>9151
Я вообще не знал что такое "формальная семантика", у вики в энверсии на "semantics of logic" в которой какая-то философская вода об Органоне Аристотеля.
105 9155
>>9151
Двачую! Всякий должен проводить жирную демаркационную линию между математикой с теорией категорий и языком программирования Haskell.

Уж очень он напоминает пузырь, ну как доткомы.
106 9159
>>9155

ну в смысле пузырь, хаскеллоёбы пользуются, довольны вроде, ну и ладушки.
107 9169
>>9159
Да пусть используют, конечно. Просто интересно было, как им это помогает. Пока я вижу, что помогает так же, как Иисус Нику Вуйчичу
108 9250
>>9065
Обоснуй теперь свою бурную реакцию
blob5 Кб, 231x121
109 9311
>>2473 (OP)
Господа, прав ли я, что для вывода
hom(X x Y, Z) ~ hom(X, Z^Y)
достаточно лишь чтобы были все экспоненты и все бинарные продукты.

И не нужен терминальный объект, который почему-то всё-таки входит в определение декартово замкнутой категории. Почему?

Док-во:
(<-) UMP exp: g |-> Lg
(->) UMP prod и прекомпозиция: Lg |-> eval o (Lg x id_Y)
то, что секция и ретракция - по тем же причинам
110 9312
и, вдогонку, на вики
https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_closed_category
есть ссылка
S. Soloviev. "Category of Finite Sets and Cartesian Closed Categories", Journal of Soviet Mathematics, 22, 3 (1983)
Где это можно откопать?
111 9316
>>9311
Без терминального объекта теряешь свойства Set
proof of distribution law in cat with prod and coprod.png40 Кб, 953x400
112 9371
Нашёл красивую диаграмму.

Вопрос: в каких категориях она верна?

Ведь если на диаграмме обратить все стрелки и заменить продукты на копродукты и наоборот, то получится тоже верная диаграмма.

Однако же обращённая диаграмма неверна в категории конечных множеств FinSet, у которой есть конечные лимиты и конечные колимиты!

Поэтому недостаточно просто существования произведений и дизъюнктивных объединений. Что ещё требуется?
113 9372
114 9373
>>9371
Всё-таки наверное обращённая диаграмма верна и в FinSet, просто тогда единственный морфизм h_g - не изоморфизм.

А какое тогда свойство топоса конечных множеств заставляет морфизм h_g на изображенной прямой диаграмме быть изоморфизмом?
116 9402
>>9394
Благодарю!
117 9418
http://math.stackexchange.com/questions/674482/example-of-epimorphisms-such-that-the-product-is-not-an-epimorphism-in-the-categ

Zhen Lin утверждает, что произведение конечного числа эпиморфизмов - эпиморфизм.

Помимо этого, из множественной интуиции, кажется, что спаривание эпиморфизмов - тоже эпиморфизм.

По дуальности - получается, что мономорфизмы - тоже сохраняются при произведении или спаривании.

Но чего-то я пока туплю с диаграммами и ни одно из этих 4х утверждений не доказал.
118 9422
>>9418

> конструктивная математика


> пытается доказывать


Что- то не так
119 9435
>>9422
Ну ок, если если в произведение хотя бы один мономорфизм, то и произведение - мономорфизм.

( http://planetmath.org/propertiesofmonomorphismsandepimorphisms )

Ну а с объединением мономорфизмов - всё сложнее...
Вроде Prop 4.2.6 в Handbook of Categorical Algebra -- что-то связанное с этим.
( https://books.google.ru/books?id=YfzImoopB-IC&pg=PA135&lpg=PA135&dq=finite+coproduct+of+monos&source=bl&ots=P_73eBmD3N&sig=Z2b0xVjInmMm1w_EFtfUf6IjOzY&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiWhoXd-d_RAhXqFZoKHTthCJoQ6AEIJTAC#v=onepage&q=finite coproduct of monos&f=false )
120 9436
А вот интересно:
Дан мономорфизм f:B>->1 (или эпиморфизм g:0->>B)
Верно ли утверждение, что "(B~0)\/(B~1)" где "~" - изоморфизм?
121 9472
>>9436
По определению моника, он обратим слева, т.е. i o f = Id_B, с другой же стороны f o i = Id_1 (потому что, по определению 1, из 1 в себя должен существовать ровно один морфизм). Что означает, что В и 1 изоморфны.
122 9482
>>9472
То, что ты говоришь верно для split monomorphism, то есть для секции, a я спрашиваю про обычный мономорфизм в произвольной категории.

Не надо применять "аксиому ковыбора", лол. :)
123 9485
>>9482
Slishkom tonko dlya menya. Всегда думал, что моник - это обратимый слева, на геометрическом языке - сечение, да. А как ещё?
124 9486
>>9482
А, извиняюсь, перепутал мономорфизм с коретракцией. Soryan.
125 9513
>>9485

В определении мономорфизма m нет квантора существования обратного слева к нему. m o f = m o g => f = g

Вот видишь, значит двач чему-то тебя научил.)
126 9732
>>9436
( Ответ на немного изменённый вопрос: )

Если g:0->>B эпиморфизм и B := 1, тогда получается, что, во-первых, 0 населён(internally inhabited),
во-вторых, получается категория, в которой глобальные элементы одного и того же множества - равны.
В такой категории выполняется "forall B,(B~0)\/(B~1)", если считать верным утверждение "во всякий B либо идёт морфизм из 1, либо не идёт".
Таким образом это зависит от разрешимости множества морфизмов из 1 в B.
IMG20170130205934.jpg2,2 Мб, 3696x4928
127 9740
>>2473 (OP)
Коединица, определённая через биекцию hom-множеств - не просто функция, переводящая одни объекты в другие, а аж натуральная трансформация функторов!
Всё записал на пикрелейтед(в обозначениях крупной статьи на вики, разумеется), но не вижу как доказать нижнюю коммутативную диаграмму, которая всё и докажет.
Откуда она следует?
128 10186
А можно в конце концов на пальцах пояснить почему гротендиковская схемная идея сработала в алгеме, а нигде аналогичное что-то больше не работает пока?
129 10268
>>10186
Почему не работает?
130 10285
>>10268
А где?
131 10345
>>10285
S. Ramanan - Global Calculus
Juan A. Navarro Gonzalez - C^\infinity - Differentiable Spaces

Ещё на mathoverflow.net есть несколько обсуждений
132 10403
>>10186

>схемная идея



в смысле нильпотенты в структурном пучке?

бывает, почему. см.: комплексные пространства, в изводе Грауэрта
133 10654
>>10186
As David Mumford told me humorously, there was on the one hand the Zariski school in the United States, which had obtained many results using the method of resolution of singularities but which had already reached the limit.
“We were a group which had problems without methods, and on the other side Grothendieck had methods without problems.” So Zariski had the enormous generosity of sending all his students to learn Grothendieck’s ideas and the IHÉS became an annex of Harvard and Princeton. The second miracle consisted of a completely improbable collaboration between three very different people: Grothendieck, a prophet who was more interested in general ideas than in the details, Serre, an extremely logical spirit, precise, no nonsense, and Dieudonné, with his extraordinary capacity for work and understanding.
The Éléments and the Séminaires de Géométrie Algébrique are the result of this trio, on which no one would have bet.
134 11388
>>10345
>>10403
После добавления нильпотентных элементов к R получается лажа (типа R={0}), чтобы этого избежать они начинают использовать другую логику (интуиционисткую), в которой этого не возникает, а это как-то связано с топосами.
135 11389
>>10654
>>11388
В общем не стоит так надрачивать на отдельные идеи. То, что сработало в одном случае, может быть бесполезно в другом.
136 11644
На курс леенсона ходит кто-нибудь?
137 11689
>>11388

>После добавления нильпотентных элементов к R получается лажа (типа R={0})



what?!

что за гнойная хуйня?
138 11702
>>11689
В принципе где топосы там ищи наебательство, но я совсем не понимаю, есть лекция шульмана, но я нифига не понял что там помимо нестандартного анализа.
Kock говорит что это по сути более удобное переложение идеи, которую придумал гротендик (the kth neigbourhood of the diagonal a.k.a. prolongation spaces of order k) а потом развили Malgrange, Kumpera и Spencer (есть даже книжка последних двух):
for the smooth case, Malgrange, Kumpera and Spencer, and others, described a category of “generalized differentiable manifolds with
nilpotent elements”
139 11703
Гротендик стал систематически добавлять нильпотенты в алгебры функций в контексте алгебраической геометрии и придумал для этого теорию схем.
Smooth infinitesimal analysis — это просто добавление нильпотентов (в духе Гротендика) к алгебре функций, но для гладких многообразий.
Придумал это André Weil, его оригинальная статья по этой теме — «Théorie des points proches sur les variétés différentiables».
140 12345
Чё почитать? categories for working mathematician?
141 12347
>>12345
Если ты на первом курсе, да. А вообще Гельфанд-Манин, Вайбель.
142 12348
>>12347
Да, я первокурсник. Спасибо, записал себе авторов на будущее.
143 12432
>>12347
Лол, Маклейн сложее Вайбеля в разы.
144 12445
>>12432
Нет, не сложнее.
145 12528
>>12445
Net, slojnee
146 12530
>>12528
Весь материал "Категорий для рабочего математика" умещается в первую главу Гельфанда-Манина (обоих книг).
Материал глав 6-9 у Вайбеля в Методах вообще отсутствует, а в 3 главе обзора представлен менее полно.
То есть о чем ты тут говоришь не ясно, но очевидно, что и сам этого не знаешь.
147 12532
А вот Homology, естественно, сложнее. Но она принадлежит к доисторическому периоду, вместе с ветхим заветом Картана-Эйленберга. Вообще, большого смысла читать что-то кроме ГМ по этим темам нет. Но Вайбель писал некоторые главы "с прицелом на к-теорию", а писать только так и надо, в принципе.
148 12539
>>12530
Спорно. Конусы и cocoon'усы у ГМ не рассматриваются так, как у Маклейна. Амальгамы, категория слайсов - где это всё?
149 13275
Вон дед с dxdy учебник по теоркату написал.
http://dxdy.ru/topic115836.html
https://github.com/George66/Textbook
nais.png101 Кб, 917x683
150 13276
151 13279
>>13275
В определении через протоморфизмы ошибка.
152 14292
Учебник по категориям для школьников таки есть: F. W. Lawvere S. H. Schanuel "Conceptual mathematics a first introduction to categories" Cambridge University Press 2009
153 14296
>>14292
Да, уже давно есть.
155 14442
>>14396
А мне нравится стрелочки рисовать.
156 14594
Поцоны, Бартош недавно написал статью про профункторы и (ко)end'ы. Почитал, более-менее осознал, вот только один вопрос мучает: как их по-русски нормально обозвать обозвать? Статью в Википедии еще не перевели, поэтому я в растерянности.
157 17267
>>14594
коконец
158 17393
>>17267
Еще можно соконец, соднище, соторец (которец), соцель...
14881193226140.jpg57 Кб, 850x480
159 18514
Поясните-ка за эти ваши котягории, что годного есть почитать? В человеческий язык могу. Вот это норм книжка - http://5ht.co/cat.pdf ?
160 18526
Поясните за этот ваш теоркат?
В чем принципиальная новизна и в чем отличие от общей алгебры?
Выглядит, как ребрендинг
161 18545
А вот выше говорилось, что в хаскеле нет категорий. А вот это разве не оно? http://hackage.haskell.org/package/CPL http://web.sfc.keio.ac.jp/~hagino/thesis.pdf
162 18699
>>18514
Пойдёт. Лутьше, чем Маклейн, во всяком случае, хотя тоже не божья благодать. Посмотри вот эту https://arxiv.org/pdf/1612.09375v1.pdf

>>18526
Блядь, ну сколько ж можно. Про это уже столько написано и переписано, сломано копий, что в приличном обществе за такие похабные вопросы и по ебалу можно получить. Серьёзно, анончик, ну погугли что ли.

>>18545
Ну уверен, но вряд ли.
163 18955
>>18545
В хаскеле нет категорий, потому что там всего одна категория Cat
164 18956
>>18955
Не Cat, а Hask.
Нет, Hask не является категорией.
165 19003
>>18956
Бля, надо Бартошу сказать, а то он там целые курсы по теоркату в хаскеле ведет, а тут такие новости.
166 19031
>>19003
Ну беги скажи.
167 19137
>>19003
Это не новость, почитай Awodey.
168 19351
Databases from finite categories
http://lambda-the-ultimate.org/node/5435
169 19375
>>19351
Норм, "категории для гуманитариев"
170 19580
Сукаблядь, ну вот почему в нотации категорий продукт - это когда стрелки выходят из одного объекта к другим. Ну вот интуитивно же должно быть наоборот.
171 19590
>>19580
Что это за интуиция такая, ничего не наоборот. Из XxY у тебя есть естественное отображение в X и в Y, а наоборот как?
172 19597
>>19590

> а наоборот как?


Сам догадаешься? вариантов вроде не много
173 19602
>>19597
Вот именно что дохуя. Для каждого элемента x из X у тебя есть своё отображение из Y в XxY: y |-> (x,y), для каждого y из Y есть отображение из X в XxY: x|->(x,y). Нет естественного выбора.
174 23817
Посоветуйте литературу по теме, и чтобы было не слишком сложно. В универе этот раздел не проходили.
175 23824
>>23817
См. тут >>18699 немного.
176 31339
177 33060
Анонасы, поясните вкратце, что такое диаграммный поиск и как его юзать?
178 33144
>>33060
Ну тип доказательство лемм сводится к "водишь туда-сюда пальцем по диаграмме".
179 33151
Сап, друзья! Может кто нибудт прояснить такую вещь. Когда доказывается существование классификатора подобъектах, в качестве омеги берем функтор, который на объектах отображается в множество всех решет под А. Как определяется его действие на морфизмах? Из того, что из терминального объекта есть естественное преобразование, вроде следует, что множество всех стрелок переводится в множество всех стрелок. Как определить остальные сорфизмы? У меня получается построить только функтор из двойственной категории.
180 33152
>>33151
Морфизм
быстрофикс
181 33156
>>33151
Эх я!
Забыл написать категорию. Речь идет о Fun(C,Sets)
182 34149
>>33151
У Голдблатта точно есть. Также посмотрите
https://github.com/George66/Textbook
стр.277-278
sanders.jpg22 Кб, 545x127
183 34797
>>12345
Где покупаете? Цена в Москве безумная.
184 34798
>>34797
На libgen.io обычно покупаю.
Selection016.png9 Кб, 597x556
185 35747
>>2473 (OP)

Почтенные мужи, в чём прикол ноликов на коммутативной диаграмме для первой теоремы о гомоморфизме групп?
186 35748
>>35747
Группа с одним элементом.
187 35750
>>35747
Так на языке точных последовательностей показывается инъективность и сюръективность.
Сказать что стрелка A->B инъективна (сюръективна) всё равно что сказать что последовательность 0->A->B (A->B->0) точна.
188 35751
>>34797
На bookfi.net
189 35855
>>34797
Для работающего математика не безумная.
190 35874
>>35750
Спасибо тебе!
Там же все последовательности - точные, да?...
191 35926
>>35874
я не он, но если в последовательности рисуются нули, то наверно предполагается, что она точная? А иначе зачем их рисовать?
192 35959
>>35874
Любой гомоморфизм f : A -> B даёт точную последовательность 0 -> ker f -> A -> im f -> 0.
Любая подгруппа A < B даёт точную последовательность 0 -> A -> B -> B/A -> 0. Это тоже легко проверить.
193 36650
А правда что теорию гомотопий лучше учить на категорном языка вообще без упоминания слова топологическое пространство?
194 42006
Котаны, попробовал Tom Leinster, показалось сложно (у самого относительно свежая бульбазаврская по физике). Выглядит так, как будто нужно какое-то дополнительное чтение прежде, чем браться за это. Например, испугался слова гомоморфизм. Посоветуйте пре-чтение, пожалуйста?
195 42007
Почувствовал себя гуманитарием от науки.
196 42015
>>9001
Ебать великая тайна раскрыта. Не то что хуесосы вроде Аводия бросающиеся "универсальностью", но блядь что это такое так нигде объяснения и нет.
Алсо, проиграл с упражнения. Можно так и в ебучку словить.
Похоже, неплохая книга.
197 42019
>>42006

>Например, испугался слова гомоморфизм


Линейная алгебра для первокурсников.
198 42050
>>42006
я не знаю, что в алгебре может быть раньше слова "гомоморфизм". в принципе, ничего, это как бы часть определения основной категории, а раньше первого определения быть ничего не может

впрочем, я не знаю, о чём этот твой том ляйнстер. если он не про алгебру, то надо алгебры и навернуть, само собой
199 42062
>>42006
А по какой физике? Вообще там вроде из контекста можно как минимум найти, где узнать про гомоморфизм. Там ведь дохуя групп, векторных пространств и всего такого фигурирует по ходу. Вот там и пре-читай, например.
А вообще, как ни парадоксально, изучать котегории в общем без какого-то частного бэка тяжко по-моему. Не понимаешь, что это за такая поебень и зачем кому-то вообще этот огород нужно было городить. Вот когда ты гетнешь какой-то стек объектов, на которые натягиваются котегории, типа там те же множества, группы, топологические пространства, ты уже начинаешь понимать, что всё это нужно для определения функторов, а категории функторов, универсальность и вот это всё можно использовать для всякой весёлой поебени. Кстати, почему Лейнстер, а не Маклейн?
200 42064
>>42015
Хоть Аводий и не лучший вариант, но справедливости ради он поясняет за универсальность by example. В частности, прежде чем перейти к произведениям, он долго и нудно расписывает, что свободные моноиды на одном элементе изоморфны, аналогично и любые моноиды над данным множеством. Так что похоже проблема всё-таки в тебе, сорян.
201 42065
>>42064

>любые свободные моноиды

202 42072
>>42064
Меня беспокоит именно само слово "универсальный". Это как если бы тебе привели тысячи примеров абелевых групп, но это вообще никак не поможет тебе додуматься до того что это блядь был такой математик и в честь него их так назвали.
203 42077
>>42072
Немного проблематично дать универсальное определение универсальности (pun intended). В простых терминах, это такое свойство объекта, которое делает все другие объекты, им обладающие, изоморфными данному. Но это определение на самом деле выглядит так себе. И Аводей приводит ненамного более внятное определение как "no junk, no noise". Оно хуёвое. Именно поэтому в данном случае определение через примеры лучше. Он писал, как умел. Не стреляйте в Аводея. Ну и опять повторюсь, я не его фанат. Лично мне Лейнстер нравится больше.
204 42188
Какие пререквизиты для ТК? Читаю начало Маклейна, он определяет категорию через ГРАФ. Ну нифига себе, это же МНОЖЕСТВО упорядоченных пар вершин и вообще объект дискретной математики, а мне говорили ТК чуть ли не альтернатива основаниям всей математики, как так? Поясните плиз.
205 42190
>>42188

>Какие пререквизиты для ТК


Начальный курс алгебраической топологии.
206 42192
>>42188
Не через граф, а через метаграф. Метаграфом называется не граф в привычном смысле, а формальная теория. Как формальная арифметика, например.
207 42193
>>42190

А она основана на теории множеств.
208 42346
Как доказать что диаграмма коммутативная?
209 42372
>>42346
Так же, как и равенство двух отображений. Задай себе вопрос: когда два морфизма равны? Когда композиции двух морфизмов равны?
Реальная стори, я не тролль.
210 59920
Как вкатиться? Я глупенький студент первокурсник, в универе зашли лекции про основные алгебраические структуры и теорию множеств, но сейчас пошла хуета про матрицы, а по дискретке скоро вместо множеств будет комбинаторика или че-то подобное.
По сабжу только знаю что он еще более глобален чем теория множеств, а я как раз дрочу на такую абстракцию и generiлизацию. ну а еще хаскель ее юзает на котором я пишу хелловорлды, ясен хуй
211 59923
>>59920
Что ты несешь? Чистая теория множеств самая простейшая хуйня во всей математике, и именно хуйня потому что бесполезная. Какая глобальная? Её хватит описать одной двумя книгами, там и ничего нет практически.
212 59924
>>59923
Ладно, я имел ввиду не саму теорию множеств, а группы, поля и тд а они то определены на множествах!. Просто после школы охуел что все, что я изучал - поле с умножением и сложением над множеством действительных чисел ну и плюс несколько других операций, а что кроме этого есть еще бесконечное количество других полей, колец и другие более сложные струткуры, про которые я не знаю
213 59925
>>59924
Теорию множеств надо изучить, чтобы понимать это.
В школе не учат, как строятся действительные числа, а это между прочим реально существующий объект, как программа на компьютере. И десятичное представление чисел это не абстракция это реально ловишь все числа из этого множества, а не с какими-то яблоками, машинками работаешь, называя их количество. В этой книге The Real Numbers and Real Analysis (Ethan D. Bloch) первые 100 страниц посвящены этому, но там натуральные числа строятся как абстракция, в теории множеств конструктивно. Из этой книги узнаешь больше чем за 11 лет в школе.
214 59926
>>59920
Нет в хаскеле никаких категорий. Нет и не было, и не будет.
Линейная алгебра это основа современной математики. Потому если тебе не нравятся матрицы можешь забить вообще.
По книгам, не помню автора, но название "топосы, категорный анализ логики".
215 59927
>>59920

>а я как раз дрочу на такую абстракцию и generiлизацию.


ну и дурак

>ну а еще хаскель ее юзает на котором я пишу хелловорлды, ясен хуй


зачем тебе вообще математика?
а, ты же про теоркат спрашиваешь.
ну тогда хуй с тобой
216 59928
>>59920

> Как вкатиться?


Без задней мысли.

> ну а еще хаскель ее юзает


Нет.
217 59974
>>59926
Посоветуй книгу по линейке с нуля
218 60015
>>59974
Не знаю. Тут тысячи раз писали списки книг. Если знаешь английский возьми Акслера "linear algebra done right". Навряд ли лучше в виде учебника что-то есть.
219 60020
>>60015
А как же модули над кольцами? А Бурбаки? Зачем ты мальчику жизнь ломаешь?
220 60021
Спасибо, но там с первой страницы сеты. Я понимаю сет {1, 5, 7}. Но сет с буквами я не понимаю {a,b}. И там матриц нету??
221 60061
>>60021
Что ты не понимаешь?

>И там матриц нету??


Вроде как нет. Они и не нужны до того как ты не изучишь внешнюю алгебру.
222 60066
>>60061

Ну вот там пишут, комплексное число это упорядоченная пара {a, b}, я правильно понимаю что это сет из двух любых(определённым образом законтрейченных) элементов a и b который и есть комплексное число?
223 60072
>>60066
В фигурных скобках пишут множества. {a,b} это множество, содержащие a и b, а не упорядоченная пара. Пары обозначаются (a,b). Упорядоченная значит, что (a,b) != (b,a).
224 60073
>>60072
Упорядоченая пара задается как {a,{b}}
225 60074
>>60072

> {a,b} это множество содержащие a и b


то есть там может быть ещё много чего кроме a и b? то есть
1,3,7,a,8,b,4 и так бесконечно?
226 60075
>>60074
Нет там должно быть такое только {{...}, {...}}
Но вместо многоточия хоть бесконечно много чего, главное чтобы закрывались фигурными скобками с двух сторон.
227 60080
>>60073
Пошёл на хуй.
>>60074
Да.
Например дроби это тоже упорядоченные пары: a/b можно записать как (a,b). Порядок важен, так как a/b != b/a.
228 60082
>>60080
То есть, я правильно понял, что когда мы делаем так {} то чтобы не оказалось внутри скобок это часть бесконечного набора?
Но ведь если мы делаем так {1, 2, 4} то мы так задаём набор ровно из трёх элементов? А так {1, 2, a} из бесконечного числа элементов так как есть буква?
229 60084
>>60082

>это часть бесконечного набора?


Нет. У тебя в наборе есть всё ровно то, что у тебя в скобках и ничего более. Некоторые наборы перечислить нельзя. Например множество всех точек окружности ты не перечислишь в скобках, но ты можешь сказать, что A именно такое множество.

>{1, 2, 4} то мы так задаём набор ровно из трёх элементов? А так {1, 2, a} из бесконечного числа элементов так как есть буква?


В обоих случаях 3 элемента.
Дополню, что {1,2,2}={1,2}, то есть и слева и справа всего 2 элемента.
230 60085
>>60084
Ну да у двоек же хеш одинаковый, лол
231 60087
>>60073
Хуйню ты написал, не будут так свойства упорядоченной пары выполняться. {a,{b}}

x = {c}
a = {{c}}
b = c

(a, b) = {a,{b}} = {{{c}},{c}} = {{x}, x} = (x, x), но x != a & x !=b
А должно быть так что (a, b) = (x, y) <=> a=x & b=y
232 60647
>>60087
Также хочется заметить, что логарифмирование секвераторных констант прямо пропорционально логарифмированию вариативных производных косинусов чисел, следовательно, степени и индексы можно спокойно упускать из тождеств.
233 66469
The MIT Categories Seminar has moved online!
The next talk will be livestreamed this week Thursday, 12 noon EST.
I'm going to speak about partial evaluations, the work that we did with the ACT School last year.
Email me if you want the access link, everyone is welcome.

Paolo Perrone
image.png2 Кб, 332x68
234 75730
235 75731
>>75730
Это откуда?
job job job 237 77955
Categorical Quantum NLP job based at Oxford's new CQC offices.

Strong Python programming skills, knowledge of NLP and ML are required, and category theory is a major bonus!

Here’s the job:

https://jobs.eu.lever.co/cambridgequantum/06744371-0e90-4d95-9007-d326504e381b
238 77957
>>77955
Слава тараканам
239 77972
>>42064

> Хоть Аводий и не лучший вариант,


А кто лучший вариант?
240 77974
>>77972
Мне нравится трёхтомник Борсо, который Handbook of Categorical Algebra.
мимо
241 77975
>>77972
лучший вариант - изучать нормальную математику, теоркат придёт сам собой (в объёме, зависящем от твоей области)
242 77976
>>77974
Будем посмотреть.
>>77975
Т.е ты согласен с тем, что теоркат это попытка формализации самого математического мышления?
243 77978
>>77976

>попытка формализации самого математического мышления?


я в таких категориях не мыслю, как по мне, это словоблудие
очень, правда, любимое многими анонами на доске

для меня теория категорий это просто удобный инструмент, чтобы организовывать взаимосвязи и упрощать язык, как-то так
244 77987
>>77975
вот этого матемачую. Это как изучать теорию множеств, может и содержательно, но наивного подхода и знания определений хватит в большей части математики.
245 77988
>>77987
Ну, теория категорий - это вполне самостоятельная наука. Не хуже и не лучше теории каких-нибудь других структур. Можно закопаться и что-то открыть.
247 77992
>>77989
1. Лившиц, Цаленко, Шульгейфер. Теория категорий. http://mi.mathnet.ru/inta5
2. Цаленко, Шульгейфер. Категории. http://mi.mathnet.ru/inta40
3. Цаленко, Шульгейфер. Категории. http://mi.mathnet.ru/inta71
Три обзора, сделанных с интервалом в несколько лет, первый в 1962 году, второй в 1969, третий в 1974. Интересны не только собственно текстом, но и прямо-таки здоровенной библиографией, частично до сих пор не потерявшей актуальность. Для полноты ссылок, наверное, стоит ещё упомянуть публикацию Шульгейфера с участием Куроша 1960 года, http://mi.mathnet.ru/umn6781

Скорее так
248 78084
>>77992
Этот обзор цаленко-шульгейферный входит в сборник "Общая алгебра" под ред. Скорнякова, более свежего образца.
249 79091
Как лучше входить в теоркат?

Один раз пробовал через всем известную книгу, но там почти всюду упоминались структуры и связи между ними, ранее мне незнакомые.
250 79095
>>79091
А зачем входить в теоркат, если нет в голове структур, к которым его можно применить?
251 79096
>>79095
Ну когда пытался, мне очень понравилось рисовать стрелки и искать морфизмы из SET в RING, например. Но проблема в том что с кольцами не работал, а единственная алгебраическая структура, в которой я +- норм это магмы.
252 79098
>>79091

>Как лучше входить в теоркат?


Лучше всего хорошенько смазав анус.
253 79170
>>79091
мне показалось, что удобнее всего входить через более-менее современные учебники по нужными тебе предметам, использующим теоркат как инструментарий: функан, алгебраическая геометрия, алгтоп, ...
там обычно в первых главах рассказываю быстренько все, что тебе надо + тебе интересно это читать, т.к. понятно, зачем ты это делаешь.

есть еще такая Category theory in context, но мне почему-то тяжеловато пошла - показалось, что плотность информации для моего слабого мозга великовата, хотя, конечно, проще маклейна
254 79176
>>79170
а в каком месте функану нужна теория категорий?

>Category theory in context


Эту книжку написала Emily Riehl
на тифаретники говорят, тётка очень зашкваренная (в том числе и в научном плане, вроде бы)
255 79181
>>79176
Может быть в современных конкретных работах и ни в каком, я, к сожалению, в функане не шарю. А тут я просто намекнул на книжку Хелемского по функану - не самое плохое введение в категории на конкретном примере.
256 79183
>>79181
Это в которой сияют ВРАТА СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ?
Да, занимательная книжка
257 79184
>>79183
а что с ней не так? просто функан скучный и сложный, а эта книжка - достаточно увлекательная. Что еще нужно для тех, кто не хочет специализироваться в функане надо?
258 79185
>>79176
весь алгебраический современный функан категорный погугли что такое КК-теория Каспарова, и что такое циклические гомологии алгебр Фреше, можешь ещё погуглить operator spaces, где базовая идея в том, что категорию банаховых алгебр хитрым образом твикают чтобы она стала более алгебраичной и более адекватно себя вести.
259 79187
>>79184
ну нет. Эта книга достаточно скучная, Саймон-Рид в десять раз интереснее. Если "специализировать в функане", то, возможно, да, но это само по себе звучит уныло.
260 79188
>>79187
Функан топ, лучше функана не бывает ничего
261 79190
>>79184
мне кажется, если не специализироваться в функане, её лучше не брать, я согласен с >>79187 насчёт саймона-рида

>>79185
да, слыхал краем уха что-то о таких вещах! наверно, правда здорово
262 79194
>>79190
так-то напомню, что мы в треде про категории, а я в саймон-риде стрелочек не припомню
263 79214
>>79194
любой оператор есть стрелочка, так что не расстраивайтся
а так, небольшой оффтопик (полу)мёртвому треду никогда не помешает
264 79219
>>79214
стрелочки без коммутативных диаграмм - это еще не категории.
только диаграммный поиск, только хардкор!
265 79231
>>79219
глупости же
известная теорема устанавливает эквивалентность между абелевыми категорями и категорией модулей. это нивелирует необходимость в диаграммном поиске в абелевых категориях, а в других он и до того не был нужен
266 79240
>>79231
у вас бред. это никак не связано с абелевостью. chasing был есть и будед, алилуйя. любое доказательство сводится к поиску путей в графе.
267 79263
>>79240
любое пусть и сводится, если очень хочется, только никто так никогда не делает
268 79265
>>79231
Это что за теорема такая волшебная?
269 79268
>>79265
теорема по фрейду
271 79285
>>79272
да, там мерзкая и очень обидная какая-то была история
я не помню уже подробностей, но дорогой моему сердцу питер фрейд безусловно не в чём не виновен
272 79299
>>79285
Что он заабузил свою лоли-дочь?
273 79361
>>79231

> и категорией модулей


истинно так. сегодня вечером я очнулся и узрел, что все в мире состоит из модулей. даже категории! даже Гротендик!
274 79369
>>79361
Расширение модулей переломлено пополам
А наш батюшка Арнольд совсем усох
Он разложился на прямые слагаемые и на пересечение неприводимых подмодулей
А надстройка все идет и идет по конусу
И всё многообразие вложилось в $\mathbb{R}^N$
И весь мир состоит из модулей!
Модули над кольцом!
А моя судьба захотела на покой
Я обещал ей не участвовать в гомотопическом хаосе
Но на фуражке на моей коммутативная диаграмма и копредел
Как это трогательно коммутативная диаграмма и копредел
Лихая петля порождает фундаментальную группу
И весь мир состоит из модулей!
Модули над кольцом!
А моей статьёй накормили толпу
Анонимный рецензент нашёл в ней ошибку
Научное сообщество растоптало её на конференции
Так исправляйте же её сами
Потому что весь мир состоит из модулей!
Модули над кольцом!
Один лишь дедушка Шурик хороший был вождь
А все другие остальные такое дерьмо
А все другие враги и такие дураки
Над родною над математикой снег невежества шел
Я купил журнал LJ.ROSSIA там тоже хорошо
Там товарищ Миша там тоже что у нас
Я уверен, что у них то же самое
Весь мир состоит из модулей!
Модули над кольцом!
А при унивалентных основаниях все будет заебись
Их закончат скоро надо только подождать
Там все будет автоматически, там все будет в кайф
Там наверное вообще не надо будет ничего доказывать!
Я проснулся среди ночи и понял, что...
ПУЧОК МОДУЛЕЙ НАД ПУЧКОМ КОЛЕЦ
ПУЧОК МОДУЛЕЙ НАД ПУЧКОМ КОЛЕЦ
ПУЧОК МОДУЛЕЙ НАД ПУЧКОМ КОЛЕЦ
274 79369
>>79361
Расширение модулей переломлено пополам
А наш батюшка Арнольд совсем усох
Он разложился на прямые слагаемые и на пересечение неприводимых подмодулей
А надстройка все идет и идет по конусу
И всё многообразие вложилось в $\mathbb{R}^N$
И весь мир состоит из модулей!
Модули над кольцом!
А моя судьба захотела на покой
Я обещал ей не участвовать в гомотопическом хаосе
Но на фуражке на моей коммутативная диаграмма и копредел
Как это трогательно коммутативная диаграмма и копредел
Лихая петля порождает фундаментальную группу
И весь мир состоит из модулей!
Модули над кольцом!
А моей статьёй накормили толпу
Анонимный рецензент нашёл в ней ошибку
Научное сообщество растоптало её на конференции
Так исправляйте же её сами
Потому что весь мир состоит из модулей!
Модули над кольцом!
Один лишь дедушка Шурик хороший был вождь
А все другие остальные такое дерьмо
А все другие враги и такие дураки
Над родною над математикой снег невежества шел
Я купил журнал LJ.ROSSIA там тоже хорошо
Там товарищ Миша там тоже что у нас
Я уверен, что у них то же самое
Весь мир состоит из модулей!
Модули над кольцом!
А при унивалентных основаниях все будет заебись
Их закончат скоро надо только подождать
Там все будет автоматически, там все будет в кайф
Там наверное вообще не надо будет ничего доказывать!
Я проснулся среди ночи и понял, что...
ПУЧОК МОДУЛЕЙ НАД ПУЧКОМ КОЛЕЦ
ПУЧОК МОДУЛЕЙ НАД ПУЧКОМ КОЛЕЦ
ПУЧОК МОДУЛЕЙ НАД ПУЧКОМ КОЛЕЦ
275 79391
>>79369

все правильно анон написал, вот только

>при унивалентных основаниях все будет



сильно пахнет счастливым будущим коммунизма
знаменитая математика от Бурбаки 276 82799
Как стать подобием знаменитых французских школьников, которые могут оперировать всякими там кольцами и гомогруппами и при этом не умеющих делить в столбик?

Где раздобыть эту школьную программу по мотивам Бурбаков?
С какой книги нАчять?
277 82875
Категория всех категорий не существует.

Определение 1. Категория категорий (кк) - такая категория, что каждый её объект - категория; каждый морфизм - функтор между соответствующими категориями, тождественный морфизм - функтор id, композиция морфизмов - композиция функторов.

Универсальная категория Un - такая кк, что любая категория изоморфна какому-то объекту из Un. Докажем, что универсальной кк не бывает.

Рассмотрим, согласно Маклейну, категории под названием 2 и 3 - соответственно стрелку между двумя точками и коммутативный треугольник. Будем говорить, что некоторая кк содержит 2 и 3, если она содержит объекты, изоморфные 2 и 3.

Лемма 1. Пусть A и B - две изоморфные кк, и пусть 2 и 3 являются объектами A. Тогда объекты A изоморфны объектам B, и наоборот, объекты B изоморфны объектам A.

В самом деле, пусть С - некоторая категория, являющаяся объектом A. Тогда каждый морфизм C соответствует функтору из 2 в C. Иными словами, класс морфизмов категории C биективно соответствует классу Hom(2,C) - классу стрелок из объекта 2 в объект C в категории A. Далее, закон композиции морфизмов в C задан, если задан набор всех возможных коммутативных треугольников в C. Набор коммутативных треугольников в C полностью определяется функторами из 3 в C - то есть полностью определяется классом Hom(3,C) категории A.

Таким образом, для любого объекта x категории A структура категории на x полностью определяется классами Hom(2,x) и Hom(3,x). Категории A и B изоморфны по условию, значит, hom'ы у них одинаковые. Отсюда следует лемма.

Определение 2. Категория категорий называется расселовской, если она изоморфна некоторому своему объекту.

Лемма 2. Пусть 2 и 3 являются объектами категории A, и A изоморфна какой-то расселовской категории B. Тогда и сама A является расселовской.
Доказательство. В категории B есть объект x, изоморфный B. По лемме 1, каждый объект B изоморфен некоторому объекту категории A. Значит, в A есть объект x', изоморфный B. Поскольку B изоморфна A, получаем, что x' изоморфен A. Значит, A изоморфна своему объекту.

Теперь, собственно, доказательство несуществования Un.
Пусть R - категория, объектами которой являются те и только те объекты Un, которые не изоморфны расселовским категориям (а стрелки - всевозможные функторы). Un, в силу универсальности, имеет объект R', изоморфный R.
Un содержит 2 и 3 - она же универсальная. 2 и 3 не расселовские, поэтому R содержит 2 и 3. Если R расселовская, то содержит объект x, изоморфный R, вопреки определению R (получается, что x изоморфен расселовской категории). Значит, R не расселовская. Поэтому лемма 2 запрещает R быть изоморфной какой-то расселовской категории. Значит, R' тоже не расселовская и поэтому является элементом R. Значит, R расселовская. Получили, что оба варианта дают противоречие.

Из https://arhivach.net/thread/683743/

Уточнение: категории категорий считаются полными, то есть hom(c,d) - класс всех функторов из c в d.
277 82875
Категория всех категорий не существует.

Определение 1. Категория категорий (кк) - такая категория, что каждый её объект - категория; каждый морфизм - функтор между соответствующими категориями, тождественный морфизм - функтор id, композиция морфизмов - композиция функторов.

Универсальная категория Un - такая кк, что любая категория изоморфна какому-то объекту из Un. Докажем, что универсальной кк не бывает.

Рассмотрим, согласно Маклейну, категории под названием 2 и 3 - соответственно стрелку между двумя точками и коммутативный треугольник. Будем говорить, что некоторая кк содержит 2 и 3, если она содержит объекты, изоморфные 2 и 3.

Лемма 1. Пусть A и B - две изоморфные кк, и пусть 2 и 3 являются объектами A. Тогда объекты A изоморфны объектам B, и наоборот, объекты B изоморфны объектам A.

В самом деле, пусть С - некоторая категория, являющаяся объектом A. Тогда каждый морфизм C соответствует функтору из 2 в C. Иными словами, класс морфизмов категории C биективно соответствует классу Hom(2,C) - классу стрелок из объекта 2 в объект C в категории A. Далее, закон композиции морфизмов в C задан, если задан набор всех возможных коммутативных треугольников в C. Набор коммутативных треугольников в C полностью определяется функторами из 3 в C - то есть полностью определяется классом Hom(3,C) категории A.

Таким образом, для любого объекта x категории A структура категории на x полностью определяется классами Hom(2,x) и Hom(3,x). Категории A и B изоморфны по условию, значит, hom'ы у них одинаковые. Отсюда следует лемма.

Определение 2. Категория категорий называется расселовской, если она изоморфна некоторому своему объекту.

Лемма 2. Пусть 2 и 3 являются объектами категории A, и A изоморфна какой-то расселовской категории B. Тогда и сама A является расселовской.
Доказательство. В категории B есть объект x, изоморфный B. По лемме 1, каждый объект B изоморфен некоторому объекту категории A. Значит, в A есть объект x', изоморфный B. Поскольку B изоморфна A, получаем, что x' изоморфен A. Значит, A изоморфна своему объекту.

Теперь, собственно, доказательство несуществования Un.
Пусть R - категория, объектами которой являются те и только те объекты Un, которые не изоморфны расселовским категориям (а стрелки - всевозможные функторы). Un, в силу универсальности, имеет объект R', изоморфный R.
Un содержит 2 и 3 - она же универсальная. 2 и 3 не расселовские, поэтому R содержит 2 и 3. Если R расселовская, то содержит объект x, изоморфный R, вопреки определению R (получается, что x изоморфен расселовской категории). Значит, R не расселовская. Поэтому лемма 2 запрещает R быть изоморфной какой-то расселовской категории. Значит, R' тоже не расселовская и поэтому является элементом R. Значит, R расселовская. Получили, что оба варианта дают противоречие.

Из https://arhivach.net/thread/683743/

Уточнение: категории категорий считаются полными, то есть hom(c,d) - класс всех функторов из c в d.
278 82876
>>82875
У вас там это... доказательство поломалось
279 82877
>>82876
Почему это?
280 82892
>>82877
Как минимум, ничего не доказано
281 82907
>>82892
Со столь неконкретными претензиями, пожалуйста, проследуйте в какой-нибудь троллотред.
282 82916
>>82907
вижу, в первый раз не дочитал твоё доказательство
вижу, ты упираешь на парадокс рассела, детали мне читать не хочется. насколько я могу судить, доказательство, если оно верное, должно упираться как-то в различия между "класс" и "множество"
283 82919
>>82916
Нет, отнюдь. Доказательство остаётся валидным для любой подлежащей теории множеств, если в ней есть схема выделения подмножеств. Категория всех категорий невозможна не из-за того, что она слишком большая, а по соображениям самореференции.
284 82923
>>82919
короче, ты парадокс лжеца поместил в простыню текста. ну ладно, пускай

помнится, меня учили, если не разрешать множествам быть слишком большими, "самореференции" не получаются (или даже запрещаются прямо, я уж не вспомню). например, если всё положить в один универсум Гротендика, тоже разве не получится?

впрочем, ответ на вопрос меня мало волнует, если честно
285 82925
>>82923
Если фиксирован универсум, то категория всех малых категорий относительно этого универсума существует. Сама она, понятно, малой не является.

>ты парадокс лжеца поместил в простыню текста


Главная техническая деталь - что в категории категорий hom(2,C) и hom(3,C) полностью определяют структуру категории в C.
natural.png117 Кб, 936x404
286 84011
Анон, что здесь значит "естественные по c и F"?
287 84016
>>84011
ну типа там можно такие коммутативные диаграммы рисовать мне неохота пояснять детали

Вообще-то, если текст хороший, там ниже должно поясняться исключение: текст не для начинающих изучать теоркат, правда, непонятно тогда, зачем формулировать лемму ионеды
288 84017
>>84016
А какие именно коммутативные диаграммы подразумеваются?
289 84021
>>84017
В общей ситуации, если у тебя есть два функтора $F,G$ и для каждого объекта $A$ задана стрелочка $\varphi\colon F(A) \to G(A)$, то для любого морфизма $A \to A'$ можно рисовать диаграмму, в которой на горизонталях стоят $\varphi\colon F(A) \to G(A)$ и $\varphi\colon F(A') \to G(A')$, а на вертикалях - значения функторов $F,G$ на морфизме морфизме $A \to A'$. Говорят, что стрелочка $\varphi$ естественна по $A$, если всякая такая диаграмма коммутативна. На более формальном языке это означает, что $\varphi$ образует морфизм функторов $F \to G$ (естественное преобразование, отсюда и терминология). Если при этом, скажем, добавлено, что $\varphi\colon F(A) \to G(A)$ есть изоморфизм для всех $A$, то $\varphi$ доставляет изоморфизм функторов.

насчёт деталей, относящихся к лемме Йонеда, это, грешен, я уже не в силах
(меня и на основное её утверждение никогда уже не хватало)
290 84035
>>84021
Спасибо, но это немного не то. Определение естественного преобразования понятное. Вопрос же был о том, что такое естественность "по объекту c и по функтору F".
291 84038
>>84035
именно то
У тебя там изоморфизм между двумя хренями, которые зависят от c и F. Эти хрени надо вообразить себе как функторы (как они действуют на морфизмы между объектами типа c и F) и рисовать диаграммы, как я указал. Естественность означает коммутативность этих диаграмм
292 84042
>>84038
Я не могу придумать, какая диаграмма должна быть для c.
293 84043
>>84042
ну прости, может, более расторопный анон тут поможет, это не я
294 84075
>>84043
Спасибо энивей.

So, вопрос >>84011 ещё в силе. Что такое естественность по c и по F, о коммутативности каких именно квадратов говорится.
295 84087
>>2473 (OP)
Сап, категорщики! Как вкатиться в эту область с нуля? В матане не шарю, посоветуйте с чего начать?
296 84094
297 84095
298 84113
>>2473 (OP)
Эти картинки можно переформулировать в терминах теории множеств.
299 84114
>>84113
Любое утверждение о множествах можно переформулировать в терминах теории групп или в терминах графов.
300 84123
>>84114
Сформулируй "если есть инъекция из А в В и из В в А, то А и В равномощны" в терминах теории групп
301 84289
>>84075
Бамп вопросу.
1.png51 Кб, 215x211
302 84300
Друзья! А где мне про спектральные последовательности почитать лучше всего, в частности для когомологий пучков.
303 84301
>>84300
посмеялся с картинки
304 84306
>>84300
Спектральные последовательности для когомологий пучков ничем не отличаются от других спектральных последовательностей, поскольку в сущности это все равно все в абелевой категории делается, а состоит она из пучков или из модулей, уже не суть важно
305 84311
>>84306
спасибо, я это понимаю. Просто мне кажется, что существуют источники где более подробно говорится о спектралках для пучков, типа Бейлинсона; про которые я собственно и спрашивал
306 84315
>>84311
наверное
я не знаю
я про них только на каких-то лекциях слышал
307 84329
>>84311
Differential cohomology theories as sheaves of spectra
16232001168620.png675 Кб, 1940x1250
308 84342
>>84075
В /b ответили.
309 84344
>>84342
и как, вертикальная стрелочка понятна?
потому как без её пояснения ничем ответ от>>84021>>84038 не отличается
310 84348
>>84344
Да, понятна. Вопрос был конкретно о том, как выглядит диаграмма для этого жаргонного выражения. Если бы это был вопрос о моноиде, то нужна была бы вот эта картинка.
311 84352
>>84348
ну ок
312 84354
>>84329
Не, тут не то что мне нужно, мне нужно для variety а тут какие-то manifodы и вообще чето не то всё это
photo2021-06-2715-00-27.jpg43 Кб, 1280x558
313 85010
314 85013
Народ, обьясните пожалуйста, что такое естественный изоморфизм вообще и также в данном контексте: между векторным пространством V и двойственным пространством двойственного пространства V есть естественный изоморфизм, по моему это при определении скалярного произведения. А вот между векторным пространством и его двойственным пространством естественного изоморфизма нет. Нигде в книгах по линалу дальше этих фактов никто не уходит. Сложное ли обьяснение?
315 85022
>>85013
про линейные пространства можно думать очень просто:
изоморфизм между $V$ и $V^*$ в отсутствии скалярного произведения нельзя придумать никаким образом, не привлекая дополнительных построений, а если их привлекать, то изоморфизм построить можно, но будет от них зависеть (например, можно его построить выбрав базис, но тогда будет зависеть от базиса)

в то же время, если на $V$ введена дополнительная структура "скалярное произведение", то мы можем написать изоморфизм, который эту структуру использует. однако теперь она к $V$ привязана и никак уже не выбирается; поскольку она зафиксирована, мы говорим, что он ни от каких дополнительных построений наш изоморфизм теперь не зависит (только от заданных уже структур), тем он естественный

точное определение в смысле теории категорий я пояснял выше по треду: >>84021
коротко говоря, "естественный изоморфизм" - это изоморфизм функторов

>>85010
имеем $h \circ f = g \circ f = \operatorname{id}_A$ и
$f \circ h = f \circ g = \operatorname{id}_B$
эти соотношения означают, что оба морфизма $g,h$ суть двусторонние обратные к $f$, следовательно, они равны; это противоречит условию (что они разные)
316 85040
>>85022
Господи, спасибо тебе, спасибо, анон. Очень понравилось обьяснение через

>не привлекая дополнительных построений

317 85123
>>85022
Мимо другой, но можно ли найти объяснение на пальцах почему ломается изоморфизм между векторным пространством и дважды сопряженным, в случае бесконечной размерности.
318 85126
>>85123
потому что каноническое отображение $V \to V^{\ast\ast}$ является мономорфизмом, при этом (в конечномерном случае) $\dim V = \dim V^{\ast\ast}$. В бесконечномерном размерностей конечных нету, и начинаются патологии: одной мономорфности, чтобы был изоморфизм, уже недостаточно

Вообще, конечномерные векторные пространства похожи на конечные множества: с конечными множествами всё хорошо, а в бесконечности начинается всякое; из счётного множества (скажем, базиса в бесконечномерном пространстве) можно вытащить два непересекающихся равномощных с ним, например.
319 85134
>>85126

>можно вытащить два непересекающихся равномощных с ним, например


Используя AC или нет?
320 85136
>>85134
зачем? берёшь в натуральных чётные и нечётные числа, и всё
Ey4fI9ZXAAYunkv.jpeg118 Кб, 1280x720
321 85165
The new Godzilla anime
322 85522
( ^^)人(^^ )
323 96556
Хочу вкатиться в вашу хуйню, про математику где-то слышал что такая штука есть.
Category Theory for Computing Science Michael Barr Charles Wells норм тема?
Олсо что такое "basic language of mathematics and computing science of the sort taught in an introductory discrete mathematics course"? Что в него должно входить?
Я знаю что есть там всякие множества, ряды, графы, матрицы, ещё какая-то хуйня. Что такое изоморфизмы и группы не знаю.
324 96754
>>96556

>Что в него должно входить?


Там есть глава Preliminaries, почитай её. Если можешь эту главу осилить - читай дальше. Так можешь и с книгами по другим темам поступать, кстати - если начало идёт тяжко, сходи подкачайся.

>норм тема?


От книги тут ничего не зависит. Ты собрался читать теорию или скорее язык, разработанный математиками для математиков на основе десятилетий математических задач и примеров из нескольких огромных математических разделов. Если тебя это не смущает, то читай любую вводную книгу, они все одинаковые.

Теоркат в CS - это решение в поисках задачи. На выходе - китайская комната с сотней определений и двумя искуственными примерами. Как это взлетело, до сих пор не понимаю. Смысл говорить про естественные преобразования или даже функторы, если у тебя там 1.5 категории всего.
325 96875
>>96754

> Теоркат в CS - это решение в поисках задачи. На выходе - китайская комната с сотней определений и двумя искуственными примерами. Как это взлетело, до сих пор не понимаю. Смысл говорить про естественные преобразования или даже функторы, если у тебя там 1.5 категории всего.


Ну, вообще согл++. Тупа модно стильно молодёжно.
326 96877
>>96754

>Теоркат в CS - это решение в поисках задачи. На выходе - китайская комната с сотней определений и двумя искуственными примерами. Как это взлетело, до сих пор не понимаю. Смысл говорить про естественные преобразования или даже функторы, если у тебя там 1.5 категории всего.


Ну понятно, что если не лезть в чисто теоретические части CS с категорными моделями теорий типов, то там действительно все примерно на уровне того, чтобы говорить о монаде действующей на одной данной категории. С другой стороны, сами обобщения такого рода видимо вполне удобны для программистов (если бы они не знали о категориях, то наверное все-равно что-то функционально похожее придумали бы).
image.png95 Кб, 672x287
327 97264
Привет двач, есть такой вопрос

Вот у меня есть какой-то текст на человеческом языке.
Текст это очевидно моноид, потому что к любому предложению можно добавить следующее.
(Текст может быть в виде юникод-строки например но это не важно)
Пусть этот моноид будет Z

Далее у меня есть какой-то способ закодировать произвольный текст словарем V фиксированной длины
То есть получается морфизм V -> Z
При этом образ всего V
может не совпадать с Z

Если я еще хочу чтобы совпадал, то как это называется?

И если я возьму все подобные кодировки V*->Z , какая структура получается, и что про нее интересного науке известно?
image.png143 Кб, 1555x452
328 99904
Я правильно понимаю, что здесь неправильно перевели, и на самом деле там enriched category, т.е. обогащённая, а не оснащённая?
1541321857950.jpg63 Кб, 807x419
329 117039
Что интересного можно изучить в теории категорий?
330 117222
>>117039
ПУЧКИ
331 117246
>>117222
С ними имел дело в алегеме. Я хочу именно интересные вещи в категориях.
332 117248
>>117039
1. Что ты уже знаешь?
2. Зачем?
333 117367
>>117248
1. Самую базу. И теорию типов на уровне книжки про гомотопическую теорию типов.
2. Хочу изучить их применение к философии и логике, заметил некоторые интересные вещи (помимо интерпретации в духе диалектического кринжа). Нужно изучать теорию топосов?
334 117368
>>117367

>Хочу изучить их применение к философии и логике


Есть стандартные работы по приложениям к логике, и для них как правило нужны топосы, да. Вот тут наверное самый полный список (вводной) литературы по теме, который можно найти: https://plato.stanford.edu/Entries/category-theory/bib.html
Еще советую посмотреть сюда https://awodey.github.io/catlog/ и сюда https://diliberti.github.io/Teaching/Teaching.html
Начинать имеет смысл с книжки Голдблатта. На русском еще есть книжка Васюкова "Категорная логика", которая про приложения к неклассическим логикам (на английском монографий по этой теме, насколько я знаю, нет), но педагогически она, по-моему, отвратительна, и научиться из нее чему-то сложно.
Обновить тред
« /math/В начало тредаВеб-версияНастройки
/a//b//mu//s//vg/Все доски

Скачать тред только с превьюс превью и прикрепленными файлами

Второй вариант может долго скачиваться. Файлы будут только в живых или недавно утонувших тредах.Подробнее