Кароче. Сначала Гаусс-Ванцель. Согласно теореме, правильный n-угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки без делений тогда и ТОЛЬКО тогда, когда n=2k p 1p 2 *.....p i, где p i -различные числа Ферма. Что простейшим образом опровергается. Есть метод, который позволяет с помощью циркуля и линейки без делений строить правильные многоугольники с абсолютно ЛЮБЫМ числом сторон. Рассмотрим его на примере правильного девятиугольника.

1.Проводим прямую, и с помощью циркуля откладываем на ней девять равных отрезков.
2.Взяв сумму всех отрезков как радиус, строим окружность.
3.Проводим из точки пересечения хорду, равную радиусу, аналогично состоящую из девяти равных отрезков.
4.Через общую точку шестого и седьмого отрезка на хорде проводим из центра окружности прямую. Также достроим третью сторону равностороннего треугольника из двух радиусов и равной им хорды. Получится, что угол в 60 градусов при центре окружности разделяется прямой на углы в 20 и 40 градусов соответственно.
5.Понятно, что в сущности, задача по построению многоугольника сводится к построению соответствующего угла, который мы уже получили за счет хорды, разделенной на равное количеству сторон искомого многоугольника одинаковых отрезков. Далее, соединив точку пересечения последней проведенной прямой и окружности с дальней вершиной равностороннего треугольника, то есть построив новый треугольник с одним сорокоградусным углом, мы получим сторону искомого многоугольника, откладывая которую внутри окружности, построим этот самый многоугольник.

По этой схеме можно строить без ограничений любые правильные многоугольники, каждый раз проводя таким образом линию из центра через общую точку шестого и седьмого отрезков и аналогично строя хорды. Все дело — в количестве откладываемых мерок. Строятся абсолютно любые многоугольники. метод имеет чуть отличающийся алгоритм для построения правильного пятиугольника: в этом случае нужно получить угол в 72 градуса. Необходимо построить аналогичный радиус и хорду, разделенные на 5 равных отрезков. Это, согласно алгоритму, позволит нам получить пять углов по 12 градусов внутри угла в 60 градусов. Далее один из таких углов нужно добавить к углу в 60 градусов, чтобы получить искомый угол в 72 градуса. Пикча кривовата, но достаточно ясно всё отражает. Прошу критики, если есть признаки кащенизма) скан паспорта тоже тут.